[논문 리뷰] Finance Market Dynamics with Option Pricing

Joseph L. McCauley, Gemunu H. Gunaratne외 1명|arXiv (Cornell University)|2006. 06. 01.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 6인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 시간 및 상태에 따라 변화하는 분산 계수를 가진 마코프 과정의 스케일링 해를 사용하여 일반화된 옵션 가격 모델을 제안한다. 이는 블랙-숄즈 편미분방정식을 확장한 것으로, 다양한 수익률 분포에 대해 위험 중립 가격 설정 하에 결과 모델이 마팅게일을 유지함을 증명한다. 또한, 로그 수익률에 꼬리가 두꺼운 분포를 포함할 경우 옵션 가격이 발산하는 이유를 설명한다.

ABSTRACT

We show how finance markets can be modeled empirically faithfully by using scaling solutions for Markov processes. Classes of exact scaling solutions are presented. We then show that our generalization of the Black-Scholes partial differential equation (pde) for nontrivial diffusion coefficients is equivalent to a Martingale in the risk neutral discounted stock price. Previously, this was proven for the case of the Gaussian logarithmic returns model by Harrison and Kreps, but we prove it for much a much larger class of returns models where the diffusion coefficient depends on both returns x and time t. That option prices blow up if fat tails in logarithmic returns x are included in the market dynamics is also explained.

연구 동기 및 목표

• 가우시안 가정을 초월한 금융 시장 역학을 모델링하기 위한 더 일반적인 프레임워크를 개발하기 위해.
• 블랙-숄즈 편미분방정식을 주식 수익률과 시간에 모두 의존하는 분산 계수를 포함하도록 확장하기 위해.
• 다양한 수익률 과정에 대해 위험 중립 측도 하에서 일반화된 모델이 마팅게일 성질을 유지함을 증명하기 위해.
• 로그 수익률에 꼬리가 두꺼운 분포를 포함할 경우 옵션 가격이 발산하는 이유를 설명하기 위해.

제안 방법

• 금융 시장 역학을 모델링하기 위해 마코프 과정의 정확한 스케일링 해를 유도한다.
• 분산 계수를 수익률 x와 시간 t에 모두 의존하도록 블랙-숄즈 편미분방정식을 일반화한다.
• 위험 중립 가격 설정 이론을 적용하여 할인 주가 과정에서 마팅게일과의 등가성을 보여준다.
• 확률 미적분을 사용하여 비자명한 분산 계수를 가진 경우의 마팅게일 조건을 수립한다.
• 일반화된 편미분방정식 프레임워크를 사용하여 꼬리가 두꺼운 로그 수익률 하에서 옵션 가격의 행동을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 및 상태에 따라 변화하는 분산 계수를 가진 마코프 과정은 어떻게 현실적인 금융 시장 역학을 모델링하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 어떤 수익률 모델의 범주에서 일반화된 블랙-숄즈 편미분방정식이 위험 중립 측도 하에서 마팅게일 성질을 유지하는가?
• RQ3 로그 수익률 분포에 꼬리가 두꺼운 분포가 포함될 경우 옵션 가격이 왜 발산하는가?
• RQ4 비정규 수익률 역학 하에서 옵션 가격이 발산하는 데 배경이 되는 수학적 메커니즘은 무엇인가?

주요 결과

• 시간 및 상태에 따라 변화하는 분산 계수를 가진 일반화된 블랙-숄즈 편미분방정식은 위험 중립 할인 주가 과정에서 마팅게일과 등가이다.
• 이전에 알려진 것보다 훨씬 넓은 범위의 수익률 모델에 대해 마팅게일 등가성이 증명되었으며, 이는 비정규 분포를 포함한다.
• 로그 수익률에 꼬리가 두꺼운 분포가 포함될 경우, 편미분방정식에서 분산 계수의 影響이 무한히 증가함에 따라 옵션 가격이 발산한다.
• 스케일링 해 프레임워크는 가우시안 가정을 초월하여 금융 시장 역학을 실증적으로 충실하게 표현할 수 있다.