[논문 리뷰] Financial Valuation of Mortality Risk via the Instantaneous Sharpe Ratio: Applications to Pricing Pure Endowments

Moshe A. Milevsky, S. David Promislow외 1명|ArXiv.org|2007. 05. 09.

Insurance, Mortality, Demography, Risk Management참고 문헌 17인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 순수 만기보험과 같은 사망률에 따라 지급 여부가 결정되는 계약에 대해, 비확률적이고 확률적인 사망률 리스크를 완전하지 않은 시장에서定价하기 위한 리스크 기반 가격 책정 프레임워크를 제안한다. 이 프레임워크는순간적인 샤프 비율을 사용하여 비확산 가능한 확률적 사망률 리스크를定价한다. 이는 무한히 많은 계약이 존재하더라도, 만약 사망률이 확률적이라면 여전히 양의 리스크 보상이 존재함을 보여주며, 이는 분산 불가능한 체계적 리스크를 반영한다.

ABSTRACT

We develop a theory for pricing non-diversifiable mortality risk in an incomplete market. We do this by assuming that the company issuing a mortality-contingent claim requires compensation for this risk in the form of a pre-specified instantaneous Sharpe ratio. We prove that our ensuing valuation formula satisfies a number of desirable properties. For example, we show that it is subadditive in the number of contracts sold. A key result is that if the hazard rate is stochastic, then the risk-adjusted survival probability is greater than the physical survival probability, even as the number of contracts approaches infinity.

연구 동기 및 목표

• 대부분의 전통적 보험 수학 방법이 대량의 수의 법칙을 통해 완벽한 분산을 가정하는 한계를 해결하기 위해.
• 사망률 리스크를 완전히 헤지할 수 없는 불완전한 시장에서 순수 만기보험의 가격 책정을 모델링하기 위해.
• 위험률이 확률적 과정을 따르는 확률적 사망률 리스크를 체계적 리스크 구성요소로 고려하기 위해.
• 투자자의 리스크 회피 성향을 순간적 샤프 비율을 통해 반영하는 평가 프레임워크를 개발하기 위해.
• 총 리스크 보상금을 유한한 포트폴리오 리스크와 확률적 사망률 리스크 구성요소로 분해하기 위해.

제안 방법

• 보험사가 사망률 리스크를 지닌 데 대해 사전에 지정된 순간적 샤프 비율을 보상으로 요구한다고 가정한다.
• 위험률를 평균 회귀 확산 과정으로 모델링하며, 변동성은 확률적이다: $ d\tilde{\lambda}_t = a dt + b(\tilde{\lambda}_t - \underline{\lambda}) dW^\lambda_t $.
• Feynman-Kac 정리를 사용하여 리스크 조정된 생존 확률에 대한 비선형 편미분방정식을 유도하고, 이를 선형 편미분방정식으로 변환하여 해를 구한다.
• 리스크 보상금을 실제 가격과 리스크 중립 가격의 차이로 정의하며, 이를 유한한 포트폴리오 리스크와 확률적 사망률 리스크 구성요소로 분해한다.
• 순수 만기보험에 이 те올리를 적용하며, 지급액은 자산 만기 시 생존 여부에 따라 결정된다.
• 표현식 $ P^{(n)} = F \varphi^{(n)} $ 와 $ P^{\alpha 0} = F \varphi^{\alpha 0} $ 를 사용하며, $ \varphi^{\alpha 0} $ 는 샤프 비율를 포함한 편미분방정식을 만족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤지가 원활하지 않은 불완전한 시장에서 사망률 리스크는 어떻게定价할 수 있는가?
• RQ2 위험률이 확률적일 경우, 계약 수가 무한히 증가할 때 계약당 리스크 보상금은 어떻게 변하는가?
• RQ3 순간적 샤프 비율을 사용하여 순수 만기보험에 대해 일관되고 경제적으로 의미 있는 가격 책정 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 리스크 보상금은 어떻게 유한한 포트폴리오 리스크와 확률적 사망률 리스크로 분해되는가?
• RQ5 위험률이 확률적일 경우, 포트폴리오 규모가 커질수록 리스크 보상금이 사라지는가?

주요 결과

• 계약 수에 대해 계약당 리스크 보상금은 부분합성적(subadditive)이며, 일관된 리스크 측도의 핵심 성질을 만족한다.
• 위험률가 결정론적일 경우, 계약 수가 무한히 증가함에 따라 계약당 리스크 보상금은 0이 되며, 이는 분산의 원칙과 일치한다.
• 위험률가 확률적일 경우, 무한한 계약 수의 극한에서도 계약당 리스크 보상금은 여전히 양수이므로, 분산 불가능한 리스크가 존재함을 시사한다.
• 확률적 사망률 리스크 보상금은 분산 계수 $ b > 0 $ 일 때 엄격히 양수이며, $ b = 0 $ 일 때에만 0이 되므로, 체계적 리스크 존재를 확인한다.
• 위험률가 확률적일 경우, 대규모 포트폴리오에서도 리스크 조정된 생존 확률은 물리적 생존 확률을 초과한다.
• 총 리스크 보상금은 명확하게 두 구성요소로 분해되며, 하나는 유한한 포트폴리오 크기에서 기인하고, 다른 하나는 확률적 사망률에서 기인한다. 후자는 渐近적으로도 지속된다.