[논문 리뷰] Finding the maximum eigenvalue of a class of tensors with applications in copositivity test and hypergraphs

Haibin Chen, Yannan Chen외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 07.

Tensor decomposition and applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비음수 및 본질적으로 음수 아닌 텐서를 일반화하는 짝수계수 대칭 W-텐서의 최대 H-고유값을 계산하기 위해 구조적 제곱합(SOS) 분해를 활용한 정규화된 준선형계획법(SDP) 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 다항식 시간 계산이 가능하며, 대칭 확장 Z-텐서의 공소성 검증과 초그래프에서 라플라시안 텐서 고유값 계산에 효과적으로 적용되며, 차원 10,000까지의 수치 결과에서 성공을 거두었다.

ABSTRACT

Finding the maximum eigenvalue of a symmetric tensor is an important topic in tensor computation and numerical multilinear algebra. This paper is devoted to a semi-definite program algorithm for computing the maximum $H$-eigenvalue of a class of tensors with sign structure called $W$-tensors. The class of $W$-tensors extends the well-studied nonnegative tensors and essentially nonnegative tensors, and covers some important tensors arising naturally from spectral hypergraph theory. Our algorithm is based on a new structured sums-of-squares (SOS) decomposition result for a nonnegative homogeneous polynomial induced by a $W$-tensor. This SOS decomposition enables us to show that computing the maximum $H$-eigenvalue of an even order symmetric $W$-tensor is equivalent to solving a semi-definite program, and hence can be accomplished in polynomial time. Numerical examples are given to illustrate that the proposed algorithm can be used to find maximum $H$-eigenvalue of an even order symmetric $W$-tensor with dimension up to $10,000$. We present two applications for our proposed algorithm: we first provide a polynomial time algorithm for computing the maximum $H$-eigenvalues of large size Laplacian tensors of hyper-stars and hyper-trees; second, we show that the proposed SOS algorithm can be used to test the copositivity of a multivariate form associated with symmetric extended $Z$-tensors, whose order may be even or odd. Numerical experiments illustrate that our structured semi-definite program algorithm is effective and promising.

연구 동기 및 목표

• 비음수 및 본질적으로 음수 아닌 텐서를 일반화하는 짝수계수 대칭 W-텐서의 최대 H-고유값을 다항식 시간 내에 계산할 수 있는 알고리즘을 개발하는 것.
• W-텐서에 의해 유도된 동차다항식에 대한 구조적 제곱합(SOS) 분해를 수립하여 준선형계획법 재구성 가능하게 하는 것.
• 제안된 알고리즘을 사용하여 임의의 짝수 또는 홀수 계수의 대칭 확장 Z-텐서의 공소성 검증을 수행하는 것.
• 스펙트럼 초그래프 이론에서 중요한 초스타 및 초트리의 라플라시안 텐서 고유값 중 최대 H-고유값을 계산하는 것.
• 고차원 텐서(최대 차원 10,000)에서 알고리즘의 확장성과 효능을 입증하는 것.

제안 방법

• W-텐서에 관련된 동차다항식에 대해 새로운 구조적 제곱합(SOS) 분해를 활용하여 비음수성을 보장하고 준선형계획법 재구성 가능하게 하는 것.
• 짝수계수 대칭 W-텐서의 최대 H-고유값 계산 문제를 다항식 시간 내에 해결 가능한 준선형계획법(SDP)으로 재구성하는 것.
• SOS 분해를 활용하여 최대 H-고유값이 양의 준정부호 행렬 위에서의 볼록 최적화 문제의 최적값과 대응됨을 보여주는 것.
• 매개변수화된 SOS 프로그램의 최소값의 부호를 분석하여 대칭 확장 Z-텐서의 공소성 검증에 알고리즘을 적용하는 것.
• YALMIP 및 SeDuMi MATLAB 솔버를 사용하여 다양한 순서와 차원을 가진 임의의 텐서에서 준선형계획법을 구현하고 테스트하는 것.
• 매개변수 M를 통해 대각지배성을 통제하는 확장 Z-텐서를 구성하여 테스트 인스턴스를 생성하고, 다양한 텐서 크기와 순서에서 공소성 비율을 평가하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짝수계수 대칭 W-텐서의 최대 H-고유값은 효율적으로 계산 가능하며, 다항식 시간 내에 해결 가능한가?
• RQ2 W-텐서에 관련된 동차다항식에 대해 준선형계획법 재구성 가능하게 하는 구조적 제곱합(SOS) 분해가 존재하는가?
• RQ3 제안된 알고리즘이 짝수 또는 홀수 계수의 대칭 확장 Z-텐서의 공소성 검증에 사용 가능한가?
• RQ4 초스타 및 초트리의 대규모 라플라시안 텐서의 최대 H-고유값 계산에서 알고리즘의 확장성은 어떠한가?
• RQ5 확장 Z-텐서 생성 시 매개변수 M이 수치 실험에서 관측된 공소성 비율에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 구조적 SOS 분해 덕분에, 짝수계수 대칭 W-텐서의 최대 H-고유값은 준선형계획법을 통해 다항식 시간 내에 계산 가능하다.
• 알고리즘은 차원 10,000까지의 텐서에 대해 최대 H-고유값을 성공적으로 계산하여 높은 확장성을 입증하였다.
• 대칭 확장 Z-텐서의 경우, 대각지배성 매개변수 M이 충분히 클 경우, 제안된 SOS 기반 SDP를 통한 공소성 검증 성공률이 99%에 이를 수 있었다.
• M이 증가할수록 공소성 인스턴스 비율이 증가한다: m=3, n=2500일 때, M=11이면 12%에서 M=16이면 99%로 상승한다; 이와 유사한 경향은 모든 테스트된 순서와 차원에서 관찰되었다.
• 기존에 조합적 구조로 인해 계산이 어려운 초스타 및 초트리의 라플라시안 텐서 고유값 중 최대 H-고유값도 효율적으로 계산 가능하게 하였다.
• 수치 실험 결과 알고리즘의 효과성과 잠재력이 확인되었으며, 대규모 인스턴스에서 일관된 수렴과 높은 정확도를 보였다.