[논문 리뷰] Finding the Right Curve: Optimal Design of Constant Function Market Makers

Mohak Goyal, Geoffrey Ramseyer외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 06.

Advanced Bandit Algorithms Research인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유동성 제공자가 향후 자산 가격에 대해 가지는 믿음을 기반으로 최적의 일정 함수 시장제작자(CFMM) 거래 함수로 번역하는 볼록 최적화 프레임워크를 제안한다. 이는 거래 체결 확률을 최대화한다. 주요 기여는 수수료 수익, 분산 손실, 기회비용을 균형 잡는 자본 효율적인 CFMM를 설계하기 위한 통합적이고 해석 가능한 방법을 제공하며, 실제 시장의 CFMM 설계를 추론된 시장의 믿음으로 설명한다.

ABSTRACT

Constant Function Market Makers (CFMMs) are a tool for creating exchange markets, have been deployed effectively in prediction markets, and are now especially prominent in the Decentralized Finance ecosystem. We show that for any set of beliefs about future asset prices, an optimal CFMM trading function exists that maximizes the fraction of trades that a CFMM can settle. We formulate a convex program to compute this optimal trading function. This program, therefore, gives a tractable framework for market-makers to compile their belief function on the future prices of the underlying assets into the trading function of a maximally capital-efficient CFMM. Our convex optimization framework further extends to capture the tradeoffs between fee revenue, arbitrage loss, and opportunity costs of liquidity providers. Analyzing the program shows how the consideration of profit and loss leads to a qualitatively different optimal trading function. Our model additionally explains the diversity of CFMM designs that appear in practice. We show that careful analysis of our convex program enables inference of a market-maker's beliefs about future asset prices, and show that these beliefs mirror the folklore intuition for several widely used CFMMs. Developing the program requires a new notion of the liquidity of a CFMM, and the core technical challenge is in the analysis of the KKT conditions of an optimization over an infinite-dimensional Banach space.

연구 동기 및 목표

• 유동성 제공자가 향후 자산 가격에 대해 가지는 믿음을 최적으로 반영하는 체계적이고 수학적으로 엄밀한 CFMM 설계 방법을 개발하는 것.
• 거래 체결 최대화, 수수료 수익 극대화, 분산 손실 최소화 등의 다양한 목표 하에 CFMM 설계를 통합하는 것.
• 실제로 널리 쓰이는 CFMM 설계(예: Uniswap, LMSR)의 다양성을 그들이 암묵적으로 포함하는 시장의 믿음을 추론함으로써 설명하는 것.
• arbitrage 위험과 재균형 비용을 고려하여 자본 효율성과 수익성을 동시에 최적화할 수 있는 계산 가능한 프레임워크를 제공하는 것.
• 무한차원 바나흐 공간에서의 CFMM 유동성의 새로운 개념을 체계화하여 KKT 조건의 엄밀한 분석을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 미래 자산 가격에 대한 공동 믿음 분포를 기반으로 최적의 CFMM 거래 함수를 계산하는 볼록 프로그램을 수립한다.
• 환율에 대한 함수로 간주되는 CFMM 유동성의 새로운 정의를 도입하여 무한차원 공간에서의 최적화를 가능하게 한다.
• 무한차원 최적화 문제의 최적성 조건을 도출하기 위해 KKT 조건 분석을 활용한다.
• 수수료 수익과 분산 손실을 복합 목적 함수의 구성 요소로 모델링하여 상호 보완적 분석을 가능하게 한다.
• 분산 손실을 고려할 경우 현재 환율에서 벗어나는 방향으로 최적의 유동성 배분을 도출하기 위해 프레임워크를 적용한다.
• 거래 함수를 가격 비율 기반으로 변환하여 최적화 문제를 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유동성 제공자가 향후 자산 가격에 대해 가지는 믿음이 주어졌을 때, 거래 체결 확률을 최대화하는 최적의 CFMM 거래 함수는 무엇인가?
• RQ2 CFMM 설계는 어떻게 수수료 수익과 분산 손실, 기회비용을 균형 잡는 방식으로 최적화될 수 있는가?
• RQ3 Uniswap의 x*y 및 LMSR와 같은 널리 쓰이는 CFMM들은 어떤 미래 가격 동적 변화에 대한 믿음을 암묵적으로 내포하고 있는가?
• RQ4 분산 손실을 고려할 경우, 수수료만을 고려한 경우와 비교해 최적의 유동성 배분은 어떻게 달라지는가?
• RQ5 이 프레임워크를 활용해 관측된 특정 CFMM의 거래 함수로부터 마켓 메이커의 믿음을 추론할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 주어진 미래 자산 가격에 대한 믿음 분포에 대해, 거래가 체결될 수 있는 평균 비율을 최대화하는 유일한 최적의 CFMM 거래 함수가 존재한다.
• 분산 손실을 고려할 경우 최적의 유동성 배분은 현재 환율에서 벗어나게 되어 큰 가격 변동에 대한 노출을 줄인다.
• 이 프레임워크는 볼록 최적화 문제를 통해 수수료 수익과 기대 분산 손실을 균형 잡는 수익 극대화 유동성 배분을 계산할 수 있다.
• 모델은 실제 시장의 CFMM 설계를 설명한다: Uniswap의 x*y 함수는 로그정규 분포의 가격 비율에 대한 믿음을 반영하며, LMSR는 지수적 가격 감소에 대한 믿음을 반영한다.
• 최적화 프레임워크는 실무자들이 CFMM 설계에 대해 가지는 비공식적인 통찰이 모델에서 유도된 공식적 믿음 구조와 일치함을 드러낸다.
• 핵심 기술 기여는 무한차원 바나흐 공간에서 KKT 조건을 엄밀히 분석하여 최적의 유동성 함수를 도출할 수 있도록 한 것이다.