[논문 리뷰] Finding the Rikitake's attractors by parameter switching

Marius‐F. Danca, S. Codreanu|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 10.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비하이퍼볼릭 평형점이 있는 시스템, 특히 리키타케 동역학계에서 임의의 애트랙터를 합성하기 위한 파라미터 스위칭 알고리즘을 제안한다. 제어 파라미터 $ p $ 를 주기적 또는 무작위로 스위칭함으로써, 혼돈성 또는 안정한 리미트 사이클 역학일지라도 평균 파라미터 값에서 얻어진 애트랙터와 일치하는 목표 애트랙터를 생성한다. 또한 $ x_3 $-축 불안정성으로 인해 이전에는 발견되지 않았던 장기적인 일시적 애트랙터를 드러낸다.

ABSTRACT

In this paper the attractors synthesis algorithm for a class of dissipative dynamical systems with hyperbolic equilibria, presented in [1], is applied to generate any attractor of the Rikitake system. By switching periodically, or even randomly, the control parameter inside a given set of values, during any finite time interval while the attractor is numerically approximated, any attractor can be generated. Beside the extension of the synthesis algorithm to systems with non-hyperbolic equilibria, we have found for the Rikitake system, a new intriguing transient which, occurring for a long time interval, is difficult to be numerically found due to the known system instability along the x3-axis.

연구 동기 및 목표

• 비하이퍼볼릭 평형점이 있는 시스템, 예를 들어 리키타케 시스템과 같은 시스템으로 애트랙터 합성 알고리즘을 확장하기.
• 제어 파라미터 $ p $ 를 주기적 또는 무작위로 스위칭함으로써, 리키타케 시스템에서 임의의 애트랙터를 수치적으로 생성할 수 있음을 입증하기.
• $ x_3 $-축 불안정성으로 인해 발생하는 장수명의 일시적 애트랙터(TA)를 식별하고 특성화하기. 이는 기존의 수치적 방법으로는 포착하기 어려운 현상이다.
• 초합성된 위상도, 히스토그램, 포아앵카르 단면도를 사용하여 스위칭에 의해 생성된 애트랙터와 평균 파라미터 값에서 생성된 애트랙터 간의 동치성을 검증하기.

제안 방법

• 애트랙터 합성 알고리즘은 리키타케 시스템의 수치적 적분 중 유한 시간 간격 동안 제어 파라미터 $ p(t) $ 를 조각별로 일정하게 스위칭한다.
• 스위칭 규칙은 주기적 또는 무작위로 배열된 파라미터 값 $ p_1, p_2, \dots $ 를 사용하며, 평균 $ p^* $ 가 목표 애트랙터를 결정한다.
• 이 방법은 애트랙터 집합의 볼록성 성질에 기반하며, 합성된 애트랙터 $ A^* $ 가 평균 파라미터 값에서의 애트랙터 $ A_{p^*} $ 와 일치함을 보장한다.
• 수치적 적분은 강성 문제를 신속하게 해결하기 위해 4차 룬게-쿠타 방법을 사용하며, 일시적 애트랙터를 해석하기 위해 신중한 처리가 이루어진다.
• 검증은 위상도를 겹쳐보기, 상태 분포 히스토그램, 포아앵카르 단면도를 통해 수행되어 애트랙터의 동일성을 확인한다.
• 일시적 애트랙터는 장시간 시뮬레이션과 기하학적 대칭성 분석을 통해 식별되었으며, $ x_3 $-축 불안정성으로 인한 수치적 과제에도 불구하고 가능했다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비하이퍼볼릭 평형점이 있는 시스템, 예를 들어 리키타케 시스템과 같은 시스템으로 애트랙터 합성 알고리즘을 성공적으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 주기적 또는 무작위 스위칭을 통해 리키타케 시스템에서 원하는 임의의 애트랙터를 생성할 수 있는가?
• RQ3 리키타케 시스템에서 장수명의 일시적 애트랙터가 나타나는 원인는 무엇이며, 왜 수치적으로 포착하기 어려운가?
• RQ4 합성된 애트랙터 $ A^* $ 가 평균 파라미터 값 $ p^* $ 에서의 애트랙터 $ A_{p^*} $ 와 얼마나 유사한가?
• RQ5 일시적 애트랙터를 수치적 오류가 아닌 동역학적 구성요소로 엄밀하게 해석할 수 있는가?

주요 결과

• 애트랙터 합성 알고리즘은 제어 파라미터 $ p $ 를 주기적 또는 무작위로 스위칭함으로써, 개별 파라미터 값이 혼돈성 또는 안정적인 역학을 보일지라도 리키타케 시스템의 임의의 애트랙터를 성공적으로 생성한다.
• $ p_1 = 9.66 $, $ p_2 = 12 $ 인 결정론적 방법 $[1p_1, 1p_2]$ 에서 평균 $ p^* = 10.83 $ 일 때 합성된 애트랙터 $ A^* $ 는 초합성된 위상도와 히스토그램을 통해 $ A_{p^*} $ 와 일치함을 확인하였다.
• $ p_1 = 5 $, $ p_2 = 7 $, $ p_3 = 24.32 $ 인 $[1p_1, 2p_2, 1p_3]$ 방법에서 평균 $ p^* = 10.83 $ 일 때 합성된 애트랙터 $ A^* $ 는 겹쳐진 포아앵카르 단면도와 히스토그램을 통해 $ A_{p^*} $ 와 정확히 일치함을 보였다.
• $ p_1 = 17 $, $ p_2 = 23 $ 일 때 알고리즘은 평균 $ p^* = 20 $ 에서의 혼돈 애트랙터 $ A_{p^*} $ 와 동일한 혼돈 애트랙터 $ A^* $ 를 생성하였으며, 포아앵카르 단면도와 히스토그램 비교를 통해 검증되었다.
• $ p_1 = 26 $, $ p_2 = 28 $ 일 때 두 개의 개별 애트랙터 모두 안정한 리미트 사이클이었으며, 모든 스위칭 방법에서 안정한 리미트 사이클만 생성되어 평균 $ p^* = 27 $ 에서의 $ A_{p^*} $ 와 일치하였다.
• $ p_1 = 14.5 $, $ p_2 = 20.7 $ 에서 균일 분포를 사용한 무작위 스위칭을 통해 합성된 애트랙터 $ A^* $ 는 평균 $ p^* = 17.6 $ 에서의 $ A_{p^*} $ 와 겹쳐진 위상도와 히스토그램을 통해 일치함을 확인하였다.