[논문 리뷰] Fine-grained analysis and improved robustness of quantum supremacy for random circuit sampling

Yasuhiro Kondo, Ryuhei Mori외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 03.

Machine Learning and Algorithms인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다항시간 계층이 붕괴하지 않는다는 가정 하에, 임의의 양자 회로의 출력 확률을 지수적으로 작은 덧셈 오차 내에서 추정하는 것이 고전 컴퓨터에게는 어렵다는 것을 입증한다. 이 문제는 BPP^NP 감소를 통해 #P-난이도임을 증명하며, 일정 깊이 및 √n 깊이의 회로에 대해 더 날카로운 한계를 제공한다. 표준 방법(예: Berlekamp–Welch 또는 Paturi의 보조정리)을 초월하는 새로운 기법을 사용한다.

ABSTRACT

We prove under the complexity theoretical assumption of the non-collapse of the polynomial hierarchy that estimating the output probabilities of random quantum circuits to within $\exp(-\Omega(m\log m))$ additive error is hard for any classical computer, where $m$ is the number of gates in the quantum computation. More precisely, we show that the above problem is $\#\mathsf{P}$-hard under $\mathsf{BPP}^{\mathsf{NP}}$ reduction. In the recent experiments, the quantum circuit has $n-$qubits and the architecture is a two-dimensional grid of size $\sqrt{n} imes\sqrt{n}$. Indeed for constant depth circuits estimating the output probabilities to within $2^{-\Omega(n\log{n})}$ is hard, and for circuits of depth $\sqrt{n}$, for which the anti-concentration property holds, estimating the output probabilities to within $2^{-\Omega(n^{3/2}\log n)}$ is hard. We prove these results from first principles and do not use the standard techniques such as the Berlekamp--Welch algorithm, the usual Paturi's lemma, and Rakhmanov's result.

연구 동기 및 목표

• 임의의 회로 샘플링에서의 양자 우월성에 대한 더 강력한 복잡도 이론적 기반을 확립하기 위해.
• 임의의 양자 회로의 출력 확률을 작은 덧셈 오차 내에서 추정하는 것이 고전 컴퓨터에게 어려운지 증명하기 위해.
• 일정 깊이 및 √n 깊이 회로와 같은 특정 회로 아키텍처에 대해 추정의 난이도에 대한 더 날카로운 한계를 유도하기 위해.
• Berlekamp–Welch 또는 Paturi의 보조정리와 같은 표준 도구에 의존하지 않고, 처음부터 새로운 분석 기법을 개발하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 BPP^NP 감소를 통해, exp(−Ω(m log m))의 덧셈 오차 내에서 출력 확률을 추정하는 것이 #P-난이도임을 입증한다.
• n 큐비트를 가진 두 차원 √n × √n 격자 아키텍처에서 다양한 깊이를 가진 임의의 양자 회로를 분석한다.
• 일정 깊이 회로의 경우, 2^−Ω(n log n) 오차 내에서 확률을 추정하는 것이 어렵다는 것을 증명한다.
• 반면, 깊이가 √n인 회로에서는 반농도성(anti-concentration)이 성립하므로, 2^−Ω(n^{3/2} log n) 오차 내에서의 추정이 어렵다는 것을 보여준다.
• 증명은 표준 도구인 Berlekamp–Welch 알고리즘 또는 Rakhmanov의 결과를 피한 채, 처음부터 구성된다.
• 분석은 임의의 양자 회로의 구조적 성질과 복잡도 이론적 가정 하에 그 출력 분포에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 양자 회로의 출력 확률을 지수적으로 작은 덧셈 오차 내에서 추정하는 것은 고전 컴퓨터에게 어려운가?
• RQ2 일정 깊이 또는 √n 깊이 회로와 같은 특정 회로 아키텍처에 대해 추정의 난이도에 대한 더 날카로운 한계를 도출할 수 있는가?
• RQ3 Berlekamp–Welch 또는 Paturi의 보조정리와 같은 표준 기법에 의존하지 않고 이러한 난이도 결과를 확립할 수 있는가?
• RQ4 회로 깊이, 반농도성, 그리고 고전적 시뮬레이션의 복잡도 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 다항시간 계층이 붕괴하지 않는다는 가정 하에, exp(−Ω(m log m))의 덧셈 오차 내에서 출력 확률을 추정하는 것은 BPP^NP 감소 하에 #P-난이도이다.
• 일정 깊이의 양자 회로의 경우, n 큐비트에서 2^−Ω(n log n) 오차 내에서 확률을 추정하는 것은 어렵다.
• 깊이가 √n인 회로에서는 반농도성이 성립하므로, 2^−Ω(n^{3/2} log n) 오차 내에서의 추정이 어렵다.
• 결과는 Berlekamp–Welch 알고리즘 또는 Paturi의 보조정리와 같은 표준 도구를 사용하지 않고, 처음부터 유도되었다.
• 분석은 랜덤 회로 샘플링에서의 양자 우월성의 강건성을 더 강력한 복잡도 이론적 가정 하에 확인한다.