[논문 리뷰] Fine properties of solutions to the Cauchy problem for a Fast Diffusion Equation with Caffarelli-Kohn-Nirenberg weights

Matteo Bonforte, Nikita Simonov|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 23.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 98인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 가중치가 있는 빠른 확산 방정식의 해가 상대 오차 기준으로 균일 수렴성을 보이는 초기 자료의 완전한 특성화를 제시한다. Barenblatt 프로파일로의 수렴은 상대 오차 기준으로 균일하며, 초기 자료에 대한 새로운 적분 조건을 도입하여, 이러한 해들이 전역 Harnack 원리와 균일 상대 오차 수렴성을 만족함을 증명한다. 반면, 이 클래스 외부의 해들은 지속적인 두꺼운 尾를 유지하며 상대 오차 수렴에 실패한다. 이는 $L^1$ 수렴이 이루어져도 마찬가지이다.

ABSTRACT

We investigate fine global properties of nonnegative, integrable solutions to the Cauchy problem for the Fast Diffusion Equation with weights (WFDE) $u_t=|x|^\\gamma\\mathrm{div}\\left(|x|^{-\\beta}\ abla u^m\ ight)$ posed on $(0,+\\infty)\ imes\\mathbb{R}^d$, with $d\\ge 3$, in the so-called good fast diffusion range $m_c<m<1$, within the range of parameters $\\gamma, \\beta$, optimal for the validity of the so-called Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities. It is a natural question to ask in which sense such solutions behave like the Barenblatt $\\mathfrak{B}$ (fundamental solution): for instance, asymptotic convergence, i.e. $\\|u(t)-\\mathfrak{B}(t)\\|_{{\ m L}^p(\\mathbb{R}^d)}\\xrightarrow[]{t\ o\\infty}0$, is well known for all $1\\le p\\le \\infty$, while only few partial results tackle a finer analysis of the tail behaviour. We characterize the maximal set of data $\\mathcal{X}\\subset{\ m L}^1_+(\\mathbb{R}^d)$ that produces solutions which are pointwise trapped between two Barenblatt (Global Harnack Principle), and uniformly converge in relative error (UREC), i.e. ${\ m d}_\\infty(u(t))=\\|u(t)/\\mathcal{B}(t)-1\\|_{{\ m L}^\\infty(\\mathbb{R}^d)}\\xrightarrow[]{t\ o\\infty}0$. Such characterization is in terms of an integral condition on $u(t=0)$. To the best of our knowledge, analogous issues for the linear heat equation $m=1$, do not possess such clear answers. Our characterization is also new for the classical, non-weighted, FDE. We are able to provide minimal rates of convergence to $\\mathcal{B}$ in different norms. Such rates are almost optimal in the non weighted case, and become optimal for radial solutions. To complete the panorama, we show that solutions with data in ${\ m L}^1_+(\\mathbb{R}^d)\\setminus\\mathcal{X}$, preserve the same "fat" spatial tail for all times, hence UREC fails.

연구 동기 및 목표

• 가중치가 있는 빠른 확산 방정식의 해가 Barenblatt 프로파일로 상대 오차 기준으로 균일 수렴하는 초기 자료의 정확한 집합을 규명하는 것.
• 전역 Harnack 원리와 균일 상대 오차 수렴성을 만족하는 해를 특성화하는 날카운 적분 조건을 수립하는 것.
• 해의 尾가 渐近적으로 Barenblatt 프로파일의 尾와 일치하는 최소한의 초기 자료 집합을 규명하는 것.
• 상대 오차 수렴 속도를 정량화하고, 비가중치 경우에서는 거의 최적임을, 그리고 원형 해의 경우는 최적임을 보이는 것.
• 특성화된 클래스 외부의 초기 자료를 가진 해들이 두꺼운 尾를 유지함으로써 균일 상대 오차 수렴에 실패함을 보여주는 것. 이는 $L^1$ 수렴이 이루어져도 마찬가지이다.

제안 방법

• 초기 자료에 대한 적분 조건을 통해 정의된 새로운 클래스 $\mathcal{X} \subset \mathrm{L}^1_+(\mathbb{R}^d)$ 를 도입하여, Barenblatt 프로파일과 동일한 尾 행동을 갖는 해를 특성화하는 것.
• 원추 영역에서의 포물형 Harnack 부등식을 적용하여 해에 대한 균일한 상한과 하한을 도출함으로써 전역 Harnack 원리를 확립하는 것.
• 자기 유사 변수로의 스케일링을 적용하고, 가중치가 있는 포물형 방정식의 해에 대한 Hölder 연속성 추정을 사용하여 공간적 정규성을 제어하는 것.
• 하향해와 상향해의 구성 기법을 활용하여, $\mathcal{X}$ 외부의 해들이 항상 두꺼운 尾를 유지함을 증명함으로써 $\mathrm{d}_\infty(u(t)) = \infty$ 임을 보이는 것.
• 상대 오차 수렴의 날카운 속도를 도출하기 위해 $\|u(t)/\mathcal{B}(t) - 1\|_{L^\infty}$ 의 감쇠를 분석함으로써, 원형 해의 경우 최적임을 보이는 것.
• 자기 유사 변수에서의 방정식의 선형화된 형태를 활용하고, 가중치가 있는 탈선형 포물형 방정식 이론에서의 사전 Hölder 추정을 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중치가 있는 빠른 확산 방정식의 해가 Barenblatt 프로파일로 상대 오차 기준으로 균일 수렴하는 초기 자료의 최대 집합은 무엇인가?
• RQ2 초기 자료에 대한 어떤 적분 조건이 해가 전역 Harnack 원리를 만족하고 균일 상대 오차 수렴을 보이게 하는가?
• RQ3 특성화된 클래스 $\mathcal{X}$ 외부의 초기 자료를 가진 해의 尾 행동과 상대 오차 수렴 성질은 어떻게 되는가?
• RQ4 상대 오차 수렴 속도는 초기 자료에 따라 어떻게 달라지며, 이는 최적인가?
• RQ5 $\mathcal{X}$ 외부의 해에 대해 균일 상대 오차 수렴의 실패를 정량화할 수 있는가? 그리고 그들의 尾 행동은 어떤 성격을 갖는가?

주요 결과

• 집합 $\mathcal{X} \subset \mathrm{L}^1_+(\mathbb{R}^d)$ 는 초기 자료에 대한 적분 조건으로 특성화되며, 이 조건을 만족하는 해들은 전역 Harnack 원리를 만족하고 두 Barenblatt 프로파일 사이에 점별로 갇혀 있음을 보장한다.
• 초기 자료가 $\mathcal{X}$ 에 속하는 해들은 Barenblatt 프로파일로 상대 오차 기준으로 균일 수렴한다. 즉, $t \to \infty$ 일 때 $\|u(t)/\mathcal{B}(t) - 1\|_{L^\infty(\mathbb{R}^d)} \to 0$ 이며, 이 수렴 속도는 비가중치 경우에서는 거의 최적이며 원형 해의 경우는 최적이다.
• 초기 자료가 $\mathcal{X}$ 에 속하지 않는 해들은 항상 '두꺼운' 尾를 유지하므로, 모든 $t$ 에 대해 $\mathrm{d}_\infty(u(t)) = \infty$ 가 성립한다. 이는 $\|u(t) - \mathcal{B}(t)\|_{L^1(\mathbb{R}^d)} \to 0$ 이라는 $L^1$ 수렴이 이루어져도 마찬가지이다.
• 해들이 $\mathcal{X}$ 에 속할 경우의 상대 오차 수렴 속도를 최소한으로 제공하며, 원형 자료의 경우는 정확히 날카롭고 일반적인 경우에도 거의 날카롭다.
• $\mathcal{X}$ 외부의 자료에 대해 상대 오차 수렴이 실패하는 것은 지속적인 尾 지배 때문임이 밝혀졌으며, 이는 명시적인 하향해와 상향해의 구성 기법을 통해 증명된다.
• 이러한 결과는 고전적 비가중치 빠른 확산 방정식의 경우에도 새로운 것이며, 선형 열 방정식에 대한 기존 결과보다 더 정밀한 특성화를 제공한다.