[논문 리뷰] Finer analysis of characteristic curves and its application to shock profile, exact and optimal controllability of a scalar conservation law with strict convex flux

Adimurthi, Shyam Sundar Ghoshal외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 13.

Navier-Stokes equation solutions인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 엄밀히 볼록인 유량을 가진 스칼라 보존법칙에 대해 다페르모스의 특성 곡선 분석을 정교화하여 엔트로피 해의 프로파일과 정확한 제어 가능성을 완전히 특성화한다. 명시적인 라크스-올레니크 공식과 구성적 방법을 사용하여, 목표 함수에 대한 필요 조건이 정확히 충분함을 증명함으로써, 모든 시간에 대해 일반적으로 정확하고 최적의 제어 가능성을 해결한다.

ABSTRACT

Here we consider scalar conservation law in one space dimension with strictly convex flux. Goal of this paper is to study two problems. First problem is to know the profile of the entropy solution. In spite of the fact that, this was studied extensively in last several decades, the complete profile of the entropy solution is not well understood. Second problem is the exact controllability. This was studied for Burgers equation and some partial results are obtained for large time. It was a challenging problem to know the controllability for all time and also for general convex flux. In a seminal paper, Dafermos introduces the characteristic curves and obtain some qualitative properties of a solution of a convex conservation law. In this paper, we further study the finer properties of these characteristic curves. As a bi-product we solve these two problems in complete generality. In view of the explicit formulas of Lax - Oleinik, Joseph - Gowda, target functions must satisfy some necessary conditions. In this paper we prove that it is also sufficient. Method of the proof depends highly on the characteristic methods and explicit formula given by Lax - Oleinik and the proof is constructive. This method allows to solve the optimal controllability problem in a trackable way.

연구 동기 및 목표

• 스칼라 보존법칙에 대해 엄밀히 볼록한 유량을 가진 경우의 엔트로피 해의 프로파일을 완전히 이해하는 것. 이 문제는 수십 년에 걸친 연구에도 불구하고 아직 완전히 이해되지 않은 상태이다.
• 모든 시간에 대해 정확한 제어 가능성을 해결하는 것. 이는 이전의 부분적인 결과들(대부분 장기적 또는 버거스 방정식과 같은 특수 케이스에 국한된 것들)을 넘어선 것이다.
• 라크스-올레니크 및 조지프-고우다 공식으로 유도된 목표 함수에 대한 필요 조건이 제어 가능성에 대해 충분함을 입증하여, 이론적으로 오랫동안 열려 있던 격차를 메우는 것.
• 특성 곡선의 성질에 기반한 추적 가능하고 명시적인 구성적 방법을 개발하여 최적 제어를 실현하는 것.

제안 방법

• 스칼라 보존법칙의 해 진동의 더 세밀한 기하학적 및 동적 성질을 분석하기 위해 다페르모스의 특성 곡선 프레임워크를 정교화하는 것.
• 라크스-올레니크 및 조지프-고우다 공식에서 유도된 명시적 공식을 활용하여 해의 프로파일과 목표 함수의 제약 조건을 특성화하는 것.
• 원하는 목표 상태에서부터 역방향 특성 곡선을 따라 추적하여 제어 입력을 명시적으로 구성하는 것.
• 유량의 엄밀한 볼록성을 이용하여 특성 곡선의 유일성과 정규성을 확보함으로써 정밀한 제어 설계를 가능하게 하는 것.
• 특성 역행렬을 통해 목표 함수를 허용 가능한 초기 자료로 매핑함으로써 해의 프로파일과 제어 가능성 간의 이중성 관계를 수립하는 것.
• 특성 궤적을 사용하여 목표에서 초기 자료로의 구성적이고 역행할 수 있는 사상이 존재함을 보여, 필요 조건의 충분성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄밀히 볼록한 유량을 가진 스칼라 보존법칙에 대해 엔트로피 해의 프로파일의 완전한 구조는 무엇인가?
• RQ2 제어 가능성 문제에서 목표 함수에 대한 필요 조건이 정확한 제어 가능성에 대해 충분한가?
• RQ3 모든 시간에 대해 정확하고 최적의 제어 가능성이 달성될 수 있는가? 즉, 점점 수렴하는 방식이나 특수 케이스에 국한되지 않는가?
• RQ4 특성 곡선을 어떻게 활용하여 스칼라 보존법칙에 대해 제어 입력을 구성적으로 설계할 수 있는가?
• RQ5 볼록한 유량을 가진 보존법칙에 대해 프로파일 분석과 제어 가능성의 일반적인 프레임워크를 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 라크스-올레니크 및 조지프-고우다 공식으로부터 도출된 목표 함수에 대한 필요 조건이 정확한 제어 가능성에 대해 충분함을 입증한다.
• 정교화된 특성 곡선 분석을 통해 엔트로피 해의 프로파일을 완전하고 명시적으로 특성화하였다.
• 최적의 제어 가능성 문제에 대해 구성적 해법을 제공하여, 원하는 목표 상태를 달성하는 데 필요한 초기 자료를 명시적으로 계산할 수 있게 되었다.
• 이 프레임워크는 버거스 방정식 외에도 모든 스칼라 보존법칙에 엄밀히 볼록한 유량을 가진 경우에 일반적으로 적용 가능하다.
• 해법은 역행할 수 있는 사상에 기반한 추적 가능하고 계산 가능한 방법을 제공하여 실용적 실행 가능성을 확보한다.
• 결과적으로, 볼록한 유량 설정에서의 전체 시간 정확한 제어 가능성과 프로파일의 완전성에 관해 오랫동안 열려 있던 열린 문제를 해결하였다.