[논문 리뷰] Finger Search, Random Access, and Longest Common Extensions in Grammar-Compressed Strings.

Philip Bille, Anders Roy Christiansen외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 10.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 33인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 문법 압축된 문자열에서 효율적인 피ン거 서치, 랜덤 액세스 및 가장 긴 공통 확장(LCE) 쿼리를 가능하게 하는 새로운 문법 기반 데이터 구조를 소개한다. 새로운 문법용 van Emde Boas 스타일의 분해를 활용하여, 부분선형 피ン거 서치 시간, 부분선형 공간을 사용하는 상수 시간 랜덤 액세스, 그리고 효율적인 LCE 쿼리를 달성함으로써, 모든 경우에서 이전의 한계를 크게 향상시켰다.

ABSTRACT

Grammar-based compression, where one replaces a long string by a small context-free grammar that generates the string, is a simple and powerful paradigm that captures many popular compression schemes. In this paper, we present new representations of grammars that supports efficient finger search style access, random access, and longest common extensions queries. Let $S$ be a string of length $N$ compressed into a context-free grammar $\mathcal{S}$ of size $n$. We present the following. - An $O(n)$ space representation that supports setting a finger at any position $f$ in $O(\log N)$ time, and subsequently supporting access to any position $i$ in time $O(\log |f - i|)$. - An $O(N^\epsilon n^{1-\epsilon})$ space representation that supports random access to any position in constant time. - Two representations that support longest common extensions queries in either $O(N^{\frac{1}{2}+\epsilon} n^{\frac{1}{2}-\epsilon})$ space and $O(1)$ time or $O(n)$ space and $O(\log N + \log^2 \ell)$ time where $\ell$ is the length of the longest common extension. All of the above bounds significantly improve the currently best known results. To achieve the bounds we introduce several new data structural techniques of independent interest, including a new van Emde Boas style decomposition for grammars.

연구 동기 및 목표

• 문법 압축된 문자열에 대한 액세스 및 비교를 위한 효율적인 데이터 구조를 설계하기 위해.
• 피ン거 위치에서의 거리에 따라 시간 복잡도가 의존하는 피ン거 서치를 지원하기 위해.
• 부분선형 공간 오버헤드로 상수 시간 랜덤 액세스를 가능하게 하기 위해.
• 시간과 공간의 트레이드오프를 향상시켜 가장 긴 공통 확장 쿼리를 지원하기 위해.
• 문법 압축을 넘어서 적용 가능한 새로운 데이터 구조 기법을 도입하기 위해.

제안 방법

• 계층적 액세스와 분해를 가능하게 하기 위해 문맥 자유 문법에 특화된 새로운 van Emde Boas 스타일의 분해를 도입하기 위해.
• 모든 피ン거 위치 $f$ 에서 $O(\log |f - i|)$ 시간 내에 피ン거 서치를 지원하는 $O(n)$ 공간 표현을 설계하기 위해.
• 어느 위치든 상수 시간 액세스를 가능하게 하는 $O(N^\epsilon n^{1-\epsilon})$ 공간 표현을 구성하기 위해.
• 두 가지의 대안적 LCE 쿼리 표현을 개발: 하나는 $O(N^{\frac{1}{2}+\epsilon} n^{\frac{1}{2}-\epsilon})$ 공간과 $O(1)$ 쿼리 시간을 가지며, 다른 하나는 $O(n)$ 공간과 $O(\log N + \log^2 \ell)$ 쿼리 시간을 가짐.
• 파싱 트리 위에서 효율적인 랭크 및 세lec션 연산을 지원하기 위해 문법의 계층적 구조를 활용하기 위해.
• 문법 유도 트리에 대한 경로 레이블 압축과 범위 쿼리를 적용하여 액세스 및 확장 연산을 가속화하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 문법 압축된 문자열에서 피ン거 서치를 거리의 로그에 비례하는 시간 복잡도로 가속화할 수 있는가?
• RQ2 부분선형 공간을 사용하면서도 상수 시간 랜덤 액세스를 달성할 수 있는가?
• RQ3 부분선형 공간을 사용하면서도 상수 시간에 LCE 쿼리를 지원할 수 있는가?
• RQ4 문법 압축된 문자열의 계층적 성질을 활용하기 위해 새로운 데이터 구조 기법을 개발할 수 있는가?
• RQ5 문맥 자유 문법에 대해 효율적인 문자열 연산을 위해 van Emde Boas 스타일의 분해를 어떻게 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 오직 $O(n)$ 공간만을 사용하면서도, 임의의 피ン거 위치 $f$ 에서 $O(\log |f - i|)$ 피ン거 서치 시간을 달성하여 이전 결과를 향상시켰다.
• $O(N^\epsilon n^{1-\epsilon})$ 공간과 $O(1)$ 쿼리 시간을 가진 랜덤 액세스 구조를 제시하여, 공간-시간 트레이드오프에서 뚜렷한 향상을 이뤘다.
• 두 가지의 LCE 쿼리 구조가 도입됨: 하나는 $O(N^{\frac{1}{2}+\epsilon} n^{\frac{1}{2}-\epsilon})$ 공간과 $O(1)$ 쿼리 시간을 가지며, 다른 하나는 $O(n)$ 공간과 $O(\log N + \log^2 \ell)$ 쿼리 시간을 가짐.
• 제안된 문법용 van Emde Boas 스타일의 분해는 효율적인 계층적 탐색을 가능하게 하며, 향상된 복잡도 한계를 달성하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 모든 제안된 데이터 구조는 각각의 연산에 대해 기존의 최고 성능을 크게 향상시켰다.
• 제안된 기법들은 별개의 관심사이며, 다른 압축 데이터 구조에도 적용 가능할 수 있다.