[논문 리뷰] Finite and infinite Euler products of Ramanujan expansions

Giovanni Coppola|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 31.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 라마누잔 계수들이 곱셈적일 때와 점별 수렴이 성립할 때, 산술 함수의 라마누잔 전개에 대한 유한 오일러 곱 인수분해를 수립한다. 핵심 결과는 이러한 전개가 선택한 유한한 소수 집합에 대한 유한 곱과 무한 꼬리로 분해될 수 있음을 보여주며, 이 유한 부분은 인자에 대한 p진 값매김에 의존한다. 이는 영 함수와 곱셈적 계수에 응용 가능한 구조적 인수분해를 제공한다.

ABSTRACT

All the $F:$N$ ightarrow $C having Ramanujan expansion $F(a)=\sum_{q=1}^{\infty}G(q)c_q(a)$ (here $c_q(a)$ is the Ramanujan sum) pointwise converging in $a\in $N, with $G:$N$ ightarrow $C a multiplicative function, may be factored into two Ramanujan expansions, one of which is a finite Euler product : details in our Main Theorem. This is a general result, with unexpected and useful consequences, esp., for the Ramanujan expansion of null-function, say 0. The Main Theorem doesn't require other analytic assumptions, as pointwise convergence suffices; this depends on a general property of Euler $p-$factors (the factors in Euler products) for the general term $G(q)c_q(a)$; namely, once fixed $a\in $N (and prime $p$), the $p-$Euler factor of $G(q)c_q(a)$ (involving all $p-$powers) has a finite number of non-vanishing terms (depending on $a$) : see our Main Lemma. In case we also add some other hypotheses, like the absolute convergence, we get more classical Euler products: the infinite ones. For the Ramanujan expansion of 0 this strong hypothesis makes the class of 0 Ramanujan coefficients much smaller; also excluding Ramanujan's $G(q)=1/q$ and Hardy's $G(q)=1/φ(q)$ ($φ$ is Euler's totient function). Our Main Theorem, instead, suffices to classify all the multiplicative Ramanujan coefficients for 0, so we also announce and (partially) prove this Classification.

연구 동기 및 목표

• 곱셈적 계수와 점별 수렴 조건 하에서 라마누잔 전개를 유한 곱과 무한 곱으로 일반화된 인수분해를 수립하기.
• 특히 곱셈적 함수에 중점을 두어 영함수의 라마누잔 계수의 구조를 분석하기.
• 매끄러운 수에 지지된 곱셈적 라마누잔 계수를 분류하고, 그것들이 식별적으로 0이 되는 조건을 규명하기.
• 클래식한 계수들, 예를 들어 라마누잔의 G(q) = 1/q와 하디의 G(q) = 1/φ(q)가 절대 수렴을 만족하지 못하는 이유를 이론적으로 기초화하기.

제안 방법

• 유한 소수 집합 F를 도입하고, 라마누잔 전개를 F에 대한 유한 오일러 곱과 F와 서로소인 정수에 대한 보완 꼬리로 분해하기.
• 주요 보조정리를 사용하여 고정된 a ∈ ℕ에 대해 G(q)c_q(a)의 p진 인수는 v_p(a)에 따라 유한 개의 비영항만을 가짐을 보이기.
• G의 곱셈적 성질을 적용하여, 유한 인수를 p ∈ F에 대한 합 ∑_{K=0}^{v_p(a)} p^K (G(p^K) - G(p^{K+1})) 의 곱으로 표현하기.
• 절대 수렴과 같은 강력한 해석 조건을 피하고, 점별 수렴 가정을 통해 수렴성을 확립하기.
• 라마누잔 합 c_q(a)의 구조와 a = 1일 때 모비우스 함수 μ(q)와의 관계를 이용하여 전개가 0이 되는 데 필요한 조건 유도하기.
• 에라토스테네스 변환과 매끄러운 수의 지지에 기반하여 계수의 지지 집합을 분석하고 영함수 조건을 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곱셈적 계수를 가진 라마누잔 전개가 어떤 조건에서 유한 오일러 곱과 무한 꼬리로 분해될 수 있는가?
• RQ2 클래식한 라마누잔 계수들, 예를 들어 G(q) = 1/q와 G(q) = 1/φ(q)가 절대 수렴을 만족하지 못하는 이유는 무엇이며, 이는 그 표현에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ3 곱셈적 라마누잔 계수가 영함수를 식별적으로 표현하기 위해 만족해야 할 구조적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ4 p진 값매김 v_p(a)는 전개에서 유한 오일러 곱의 길이와 형태에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 계수의 분류에 있어 소수 집합 F(G)의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 주요 정리에 따르면, 임의의 곱셈적 계수 함수 G와 유한 소수 집합 F에 대해, 점별 수렴이 성립할 경우 라마누잔 전개는 F에 대한 유한 오일러 곱과 F와 서로소인 정수에 대한 무한 꼬리로 분해됨을 보장한다.
• 유한 오일러 곱은 명시적으로 ∏_{p∈F} ∑_{K=0}^{v_p(a)} p^K (G(p^K) - G(p^{K+1})) 로 주어지며, 이는 인자 a의 p진 값매김에 의존함을 보여준다.
• 영함수의 경우, ∑_{(r,F)=1} G(r)μ(r) = 0 이라는 조건이 라마누잔 전개가 식별적으로 0이 되기 위한 필요충분조건이 된다. 이는 점별 수렴 조건 하에서 성립한다.
• 논문은 라마누잔의 G(q) = 1/q와 하디의 G(q) = 1/φ(q)가 절대 수렴하지 않음을 보여주며, 이는 이들이 무한 오일러 곱을 가질 수 있는 계수의 범주 외부에 있음을 설명한다.
• Q-매끄러운 수에 대한 라마누잔 전개의 유한성은 v_p(a)에 의존함으로써 유한함을 보이며, 지지 집합이 무한하더라도 성립한다.
• 영함수의 곱셈적 라마누잔 계수의 분류는 F(G) = ∅, F_0(G) ≠ ∅, 또는 F(G) ≠ ∅ 이면서 F_0(G) = ∅ 인 세 경우로 완료되며, 마지막 경우는 μ(r)에 대한 합 조건이 필요하다.