[논문 리뷰] Finite and Infinite W Algebras and their Applications

T. Tjin|ArXiv.org|1993. 08. 30.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 32인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 임의의 $sl_2$ 임bedding에 대한 일반화된 드린펠트-소코로프 감소를 통한 유한 및 무한 W 대수에 대한 체계적인 해밀토니안 감소 프레임워크를 제시하며, 모든 W 대수가 애파인 리 대수의 감소로 유도됨을 보여준다. 이는 이러한 감소에 대한 양자화 절차를 수립하고, 자유장 실현을 제공하며, 유한 W 대수, 그들의 심플렉틱 잎, 그리고 진동자 실현을 완전히 특성화한다. 이는 통합된 시스템과 양자장 이론에 응용된다.

ABSTRACT

In this paper we present a systematic study of $W$ algebras from the Hamiltonian reduction point of view. The Drinfeld-Sokolov (DS) reduction scheme is generalized to arbitrary $sl_2$ embeddings thus showing that a large class of W algebras can be viewed as reductions of affine Lie algebras. The hierarchies of integrable evolution equations associated to these classical W algebras are constructed as well as the generalized Toda field theories which have them as Noether symmetry algebras. The problem of quantising the DS reductions is solved for arbitrary $sl_2$ embeddings and it is shown that any W algebra can be embedded into an affine Lie algebra. This also provides us with an algorithmic method to write down free field realizations for arbitrary W algebras. Just like affine Lie algebras W algebras have finite underlying structures called `finite W algebras'. We study the classical and quantum theory of these algebras, which play an important role in the theory of ordinary W algebras, in detail as well as some aspects of their representation theory. The symplectic leaves (or W-coadjoint orbits) associated to arbitrary finite W algebras are determined as well as their realization in terms of bosoic oscillators. Apart from these technical aspects we also review the potential applications of W symmetry to string theory, 2-dimensional critical phenomena, the quantum Hall effect and solitary wave phenomena. This work is based on the Ph.D. thesis of the author.

연구 동기 및 목표

• 해밀토니안 감소를 통해 유한 및 무한 W 대수에 대한 통합된 프레임워크를 개발하기.
• 드린펠트-소코로프 감소를 임의의 $sl_2$ 임bedding으로 일반화하여 광범위한 W 대수의 구축을 가능하게 하기.
• 모든 $sl_2$ 임bedding에 대해 DS 감소의 양자화 문제를 해결하기.
• 애파인 리 대수에 대한 임bedding을 통한 임의의 W 대수에 대한 자유장 실현을 수립하기.
• 유한 W 대수를 세밀히 연구하여 그들의 심플렉틱 잎과 진동자 실현을 분석하고, 무한 W 대수의 구조에서의 역할을 탐구하기.

제안 방법

• 애파인 리 대수 내의 임의의 $sl_2$ 임bedding에 대해 드린펠트-소코로프 감소 체계를 일반화하기.
• 동형군의 옆에 있는 심플렉틱 감소를 통한 고전적 W 대수의 구축, 즉 감소된 파아손 대수로서.
• 임의의 $sl_2$ 임bedding에 대해 DS 감소 절차의 양자화를 수행하고, 양자 W 대수가 일관되고 닫혀 있음을 증명하기.
• 모든 W 대수가 애파인 리 대수에 임bed딩될 수 있음을 보여주며, 이는 알고리즘 기반의 자유장 실현을 가능하게 한다.
• 유한 W 대수를 무한 W 대수의 기초 구조로 특성화하고, 그들의 고전적 및 양자 이론을 분석하기.
• 유한 W 대수의 심플렉틱 잎을 동형군의 옆에 있는 궤적으로 실현하고, 그들의 진동자 표현을 구성하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 임의의 $sl_2$ 임bedding에 대해 드린펠트-소코로프 감소를 일반화하여 W 대수를 구축할 수 있는가?
• RQ2 임의의 $sl_2$ 임bedding을 가진 DS 감소의 양자화 절차는 무엇이며, 일관된 양자 W 대수를 도출하는가?
• RQ3 모든 W 대수는 애파인 리 대수에 임bed딩하여 자유장 실현으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 유한 W 대수의 심플렉틱 잎은 무엇이며, 어떻게 보스온 진동자로 실현할 수 있는가?
• RQ5 유한 W 대수는 무한 W 대수의 구조와 표현 이론에서 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 임의의 $sl_2$ 임bedding에 대한 일반화된 드린펠트-소코로프 감소는 감소된 파아손 대수로서 광범위한 고전적 W 대수의 집합을 도출한다.
• 모든 $sl_2$ 임bedding에 대해 DS 감소의 양자화가 일관되게 해결되었으며, 임의의 W 대수가 애파인 리 대수의 양자 감소로 유도됨을 증명한다.
• 모든 W 대수는 애파인 리 대수에 대한 임bedding을 통해 자유장 실현을 갖는다. 이는 알고리즘 기반의 구축 방법을 제공한다.
• 유한 W 대수가 무한 W 대수의 기초 구조임이 입증되었으며, 그들의 심플렉틱 잎은 동형군의 궤적으로 완전히 분류되었다.
• 유한 W 대수의 심플렉틱 잎은 보스온 진동자 대수를 통해 실현되었으며, 이는 그들의 위상공간 구조에 대한 구체적인 실현을 확립한다.
• 논문은 W 대수가 일반화된 토다 장 이론의 노에터 대칭 대수로 기능하며, 해밀토니안 감소를 통해 통합 계기계와 연결됨을 수립한다.