[논문 리뷰] Finite correlation length implies efficient preparation of quantum thermal states

Fernando G. S. L. Brandão, Michael J. Kastoryano|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 국소 해밀토니안의 열기 상태를 로그 깊이의 국소 양자 채널 회로를 사용하여 효율적으로 준비하는 양자 알고리즘을 제시한다. 두 가지 물리적으로 타당한 가정 하에 성립한다: 상관관계의 지수적 감쇠와 차폐된 영역에 대한 근사 마르코프 성질. 핵심 기여는 상태의 정적이고 검증 가능한 성질에 기반한 수학적으로 보장된 수렴 성질을 갖는 효율적인 준비 방법으로, 위상적 순서가 임계 온도 이상일 경우에 대해 유효하다.

ABSTRACT

Preparing quantum thermal states on a quantum computer is in general a difficult task. We provide a procedure to prepare a thermal state on a quantum computer with a logarithmic depth circuit of local quantum channels assuming that the thermal state correlations satisfy the following two properties: (i) the correlations between two regions are exponentially decaying in the distance between the regions, and (ii) the thermal state is an approximate Markov state for shielded regions. We require both properties to hold for the thermal state of the Hamiltonian on any induced subgraph of the original lattice. Assumption (ii) is satisfied for all commuting Gibbs states, while assumption (i) is satisfied for every model above a critical temperature. Both assumptions are satisfied in one spatial dimension. Moreover, both assumptions are expected to hold above the thermal phase transition for models without any topological order at finite temperature. As a building block, we show that exponential decay of correlation (for thermal states of Hamiltonians on all induced subgraph) is sufficient to efficiently estimate the expectation value of a local observable. Our proof uses quantum belief propagation, a recent strengthening of strong sub-additivity, and naturally breaks down for states with topological order.

연구 동기 및 목표

• 양자 컴퓨터에서 열기(기브스) 상태를 수학적으로 보장된 효율성으로 준비하기 위한 양자 알고리즘을 개발한다.
• 이러한 준비가 로그 깊이의 회로에서 가능해지는 물리적으로 타당하고 검증 가능한 조건을 규명한다.
• 양자 기브스 상태 준비에서 물리적 직관과 엄밀한 수렴 보장 사이의 격차를 메운다.
• 가정이 위상적 순서를 가진 상태에서 정확히 붕괴됨을 입증하여 유한 깊이의 회로로는 이러한 상태를 준비할 수 없음이라는 기존의 제약과 일치시킨다.
• 양자 믿음 전파와 근사 복구 채널의 적용 범위를 열기 상태 준비로 확장한다.

제안 방법

• 국소 열기 상태를 조합하여 전체 상태를 구성하는 패치워크 절차를 사용하며, 상관관계의 지수적 감쇠 덕분에 전역 일관성이 보장된다.
• 상관관계가 지수적으로 감쇠할 경우 국소 관측량을 효율적으로 추정하기 위해 양자 믿음 전파 형식을 적용한다.
• 근사 복구 채널 정리의 힘을 빌려 경계에서의 정보를 바탕으로 소실된 영역을 재구성할 수 있으며, 조건부 상호정보량이 작을 경우에 유용하다.
• 격자에 포함된 모든 유도된 부분그래프에서 상관관계가 균일하게 군집화되어 있음을 가정하여, 시스템 크기와 무관하게 상관관계 감쇠가 보장된다.
• 균일한 마르코프 성질을 요구하며, 이는 차폐된 영역 간의 조건부 상호정보량이 차폐 너비에 따라 감쇠됨을 의미한다.
• 회로 깊이는 시스템 크기의 로그 비율로 증가하며, 오차는 깊이에 따라 지수적으로 감소하여 고정밀도 상태 준비가 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 채널로 구성된 양자 회로를 사용해 열기 양자 상태를 얼마나 효율적으로 준비할 수 있는가?
• RQ2 상관관계의 지수적 감쇠와 근사 마르코프 성질이 효율적인 기브스 상태 준비를 위한 충분한 조건이 될 수 있는가?
• RQ3 이러한 가정의 실패와 양자 시스템 내 위상적 순서의 존재 사이에 근본적인 연결 고리가 존재하는가?
• RQ4 알고리즘의 수렴 보장은 해밀토니안이나 상태의 정적 성질만으로 검증할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 열기 상태 이외의 다른 양자 상태 유형으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘은 국소 양자 채널만을 사용하여 로그 깊이의 회로로 열기 상태를 지수적으로 작은 오차로 준비한다.
• 모든 유도된 부분그래프에서 상관관계가 지수적으로 감쇠하면, 스펙트럼 갭이 없더라도 국소 관측량을 효율적으로 추정할 수 있다.
• 작은 조건부 상호정보량으로 정량화된 근사 마르코프 성질은 소실된 영역의 국소 복구를 가능하게 하며, 이는 패치워크 절차에 필수적이다.
• 가정은 모든 가환 기브스 상태와 임계 온도 이상의 비가환 모델에 대해 성립하며, 특히 1차원에서는 성립한다.
• 위상적 순서를 가진 상태에서는 기대한 바와 같이 방법이 실패한다. 왜냐하면 이러한 상태는 어떤 유한 깊이의 국소 채널 회로로도 준비될 수 없기 때문이다.
• 이 접근법은 스펙트럼 갭 분석을 피하고 강한 하위가환성과 믿음 전파에 기반한 새로운 직관적인 증명 전략을 제공한다.