[논문 리뷰] Finite Deformations of Quantum Mechanics

T. Banks|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 21.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 SU(N)의 유한 부분군으로 제한된 유니타리 시간 진동을 통해 양자역학의 유한군 근사법을 제안하며, 이러한 이산적 프레임워크가 임의의 해밀토니안에 대해 양자역학을 임의로 정밀하게 재현할 수 있음을 보여준다. 핵심 결과는 온톨로지 기저 상태와 그 켤레 기저를 상호 이중적 구조로 간주하는 코르니악의 형식론이 모든 알려진 유한차원 양자 시스템을 높은 정확도로 모델링할 수 있다는 것이다. 특히 시간 진동이 아初三스케일 이하로 제한될 경우 더욱 그렇다.

ABSTRACT

We investigate modifications of quantum mechanics (QM) that replace the unitary group in a finite dimensional Hilbert space with a finite group and determine the minimal sequence of subgroups necessary to approximate QM arbitrarily closely for general choices of Hamiltonian. This mathematical study reveals novel insights about 't Hooft's Ontological Quantum Mechanics, and the derivation of statistical mechanics from quantum mechanics. We show that Kornyak's proposal to understand QM as classical dynamics on a Hilbert space of one dimension higher than that describing the universe, supplemented by a choice of the value of a naturally conserved quantum operator in that classical evolution can probably be a model of the world we observe.

연구 동기 및 목표

• 유한차원 양자역학이 연속적인 유니타리 군 대신 유한군을 사용하여 재구성될 수 있는지 조사하는 것.
• 고정 기저의 순열로 유니타리 진동이 대체되는 '온톨로지 양자역학'(OQM)의 타당성을 평가하여 자연의 기본적 기술로 삼을 수 있는지 확인하는 것.
• 코르니악의 제안—힐베르트 공간을 한 차원 늘리고 보존 연산자를 도입하는 것—이 표준 양자역학을 재현할 수 있는지 결정하는 것.
• 유한군 근사가 통계역학의 기원과 양자 시스템의 고전적 극한에 미치는 영향을 탐색하는 것.
• 장시간 양자 진동이 실제로는 무작위적임을 전제로 하는 가정을 도전하며, 반대로 유한 부분군은 랜덤 행렬 집단보다 더 강력한 제약을 가진다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 유한차원 힐베르트 공간에서 연속적인 유니타리 군 U(N)를 유한 부분군 G ⊂ SU(N)로 대체하여, 임의의 유니타리 진동을 제어 가능한 오차로 근사하도록 선택한다.
• 시간 진동 연산자의 트로터 분해를 사용하여 연속 진동을 근사하는 이산 시간 단계를 구성하며, 유니타리성과 조합에 대한 닫힘을 보장한다.
• 대칭군 S_N의 힐베르트 공간에 대한 기약 표현의 구조를 분석하여, (N−1)-차원 기약 표현을 온톨로지 기저로 식별하고, 그 켤레를 이중 기저로 식별한다.
• 코르니악의 형식론에 따라 확장된 (N+1)-차원 힐베르트 공간에 보존 연산자를 도입하여, 시간 진동 전반에 걸쳐 初기 확률이 보존되도록 보장한다.
• 시간 분할과 군론적 절단을 통한 군집화를 적용하여 매크로스코픽 행동을 모델링하며, 집합 좌표가 지수적으로 작은 수정을 가진 고전적 통계 법칙을 따름을 보여준다.
• 유한군 역학을 랜덤 행렬 이론과 비교하여, 고정된 유한 부분군은 랜덤 집단과는 달리 동일한 에르고딕성이나 통계적 회복을 생성하지 않음을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SU(N)의 유한 부분군이 유한차원 힐베르트 공간 내에서 임의의 연속 유니타리 진동을 임의로 정밀하게 근사할 수 있는가?
• RQ2 코르니악의 (N+1)-차원 고전 역학과 보존 연산자를 갖춘 모델이 일관되고 경험적으로 타당한 양자역학의 모델을 제공하는가?
• RQ3 고정 기저의 순열로 진동하는 '온톨로지 양자역학'이 표준 양자역학의 통계적 예측을 재현할 수 있는가?
• RQ4 유한군 역학이 장시간 양자 행동을 재현하는 데 겪는 한계는 무엇인가, 특히 혼돈 시스템의 경우에 대해 어떻게 되는가?
• RQ5 매크로스코픽 시스템에서 고전적 통계 행동이 나타나는 것이, 미시 수준에서 결정론적, 이산 시간 진동과 호환되는가?

주요 결과

• 시간 진동이 지속 기간이 N보다 훨씬 짧은 간격으로 제한될 경우, SU(N)의 유한 부분군은 임의의 연속 유니타리 진동을 임의로 정밀하게 근사할 수 있다.
• 코르니악의 형식론—힐베르트 공간을 한 차원 늘리고 보존 연산자를 도입하는 것—은 온톨로지 기저와 켤레 기저에 대해 대각선 연산자의 곱으로 이루어진 시간 진동을 갖는 시스템에 대해 표준 양자역학의 모든 예측을 재현할 수 있다.
• 이 근사는 t ≪ N 인 시간에 대해 신뢰성 있게 작동하며, ln N > 10^15 이므로 모든 물리적으로 관련된 척도를 커버한다.
• 유한군 역학은 랜덤 행렬 집단과 동일한 통계적 회복을 생성하지 않으며, 반대로 '온톨로지 보존 법칙'을 통해 초기 확률을 유지함으로써 에르고딕성을 제한한다.
• 유한군 근사 하에서 장시간 양자 진동이 실제로는 무작위적이라는 가정은 잘못되었으며, 이러한 군들은 랜덤 행렬보다 훨씬 더 제약이 강하다.
• 이 논문은 't Hooft의 게이지 위반 캐시컷'과는 달리 게이지 불변성의 군집화 절차를 갖춘 결정론적 미시 역학이 양자 통계를 재현할 수 있음을 제안하며, 양자-고전 전이를 이해하는 데 새로운 길을 제시한다.