[논문 리뷰] Finite determinacy of matrices and ideals in arbitrary characteristic

Gert–Martin Greuel, Thuy Huong Pham|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 08.

Advanced Topics in Algebra인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 임의의 특성에서 형식적 멱급수환의 1열 행렬에 대해, 유한 결정성은 Fitting 이상이 최대 높이를 가질 때와 동치임을 증명한다. 또한, 양의 차원을 가진 이상이 유한 접촉 결정 가능함이 고립된 완전교차 특이점임과 동치임을 보이며, 명시적이고 상층적 연속적인 결정 경계를 제시하고, 양의 특성에서 1열 행렬에 대한 핵심 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Let M be the ring of m x n matrices A with entries in R=K[[x1,...,xs]], the ring of formal power series over an arbitrary field K. We call A finitely determined if any matrix B, with entries of A-B in ^k for some k, is left-right equivalent to A, i.e. B is contained in the G-orbit of A, where G is the group of automorphisms of R combined with the multiplication of invertible matrices from the left and from the right. Finite determinacy is an important property, which implies that A is left-right equivalent to a matrix with polynomial entries. It has been intensively studied for one power series over the complex and real numbers in connection with the classification of singularities. In positive characteristic the problem is more subtle since the tangent image may differ from the tangent space to the orbit, as was shown in one of our previous papers. There we show that finite codimension of the tangent image is sufficient for finite determinacy. The question whether it is also necessary remains open for matrices of arbitrary size in positive characteristic. In this paper we answer this question positively for 1-column matrices. For this we prove that the Fitting ideals of a finitely determined matrix have maximal height. 1-column matrices are of particular interest, since left-right equivalence of matrices corresponds to contact equivalence of the ideals in R generated by their entries. Here two ideals I and J are contact equivalent if the K-algebras R/I and R/J are isomorphic. Our main result on matrices implies that a positive dimensional ideal is finitely contact-determined if and only if it is an isolated complete intersection singularity. In addition we give explicitly computable and semicontinuous determinacy bounds. We discuss also several open problems which are of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 유한 결정성이 양의 특성에서 성립하기 위해 접선 이미지의 유한 코드모듈러스가 필수적인가라는 열린 문제를 해결하는 것, 특히 1열 행렬에 대해.
• 고립된 완전교차 특이점의 관점에서 이상의 유한 접촉 결정 가능성을 특성화하는 것.
• 임의의 특성에서 1열 행렬과 이상에 대해 명시적이고 상층적 연속적인 결정 경계를 도출하는 것.
• Fitting 이상이 유한 결정성에서 어떤 역할을 하는지 명확히 하고, 유한 결정 가능한 행렬의 경우 이상이 최대 높이를 가져야 한다는 것을 보여주는 것.
• 양의 특성에서 행렬과 이상의 분류에 대한 기초 문제를 다루는 것, 특히 좌우 동치 하에서의 분류 문제를 고려하여.

제안 방법

• K가 임의의 체일 때, R = K[[x1,...,xs]] 위의 1열 행렬에 대한 좌우 동치의 군 작용을 분석한다.
• 유한 결정성을 연구하기 위해 궤도의 접선 이미지를 사용하며, 접선 공간에서의 코드모듈러스에 중점을 둔다.
• Fitting 이상 이론을 적용하여 유한 결정성에 필요한 높이 조건을 특성화한다.
• 행렬의 유한 결정성과 이상의 접촉 동치 사이의 대응 관계를 수립하여 문제를 이상 분류 문제로 환원한다.
• 행렬 간 차이의 소멸 순서에 기반한 상층적 연속적인 결정 경계를 유도한다.
• 1열 행렬의 좌우 동치와 이상의 접촉 동치 사이의 동치성을 활용하여, 행렬 및 이상 설정 간에 결과를 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1열 행렬에 대해 양의 특성에서 유한 결정성이 성립하기 위해 접선 이미지의 유한 코드모듈러스가 필수적인가?
• RQ2 임의의 특성에서 행렬의 Fitting 이상에 대한 정확한 대수적 조건은 무엇인가, 이 조건이 행렬이 유한 결정 가능하기 위해 필요한가?
• RQ3 R = K[[x1,...,xs]]의 이상이 언제 유한 접촉 결정 가능하며, 이는 특이점 유형과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 임의의 특성에서 1열 행렬에 대해 명시적이고 상층적 연속적인 결정 경계를 계산할 수 있는가?
• RQ5 1열 행렬의 좌우 동치 분류와 이상의 접촉 동치 분류 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• R = K[[x1,...,xs]] 위의 1열 행렬은 Fitting 이상이 최대 높이를 가질 때이고, 그 때에만 유한 결정 가능하다.
• 1열 행렬의 유한 결정성은 다항식 계수를 가진 행렬과 좌우 동치임을 의미한다.
• R의 양의 차원 이상은 고립된 완전교차 특이점임과 동치일 때만 유한 접촉 결정 가능하다.
• 논문은 임의의 특성에서 1열 행렬에 대해 명시적으로 계산 가능하고 상층적 연속적인 결정 경계를 제공한다.
• 결과적으로, 임의의 체 위에서 1열 행렬에 대해 접선 이미지 코드모듈러스의 유한성 필요성에 대한 열린 문제를 해결한다.
• 1열 행렬의 좌우 동치와 이상의 접촉 동치 사이의 동치성 덕분에, 행렬 설정과 이상 설정 간에 유한 결정성 결과를 이전할 수 있다.