[논문 리뷰] Finite Dimensional Pointed Hopf Algebras with Abelian Coradical and Cartan matrices

Nicolás Andruskiewitsch, H.J. Schneider|ArXiv.org|1998. 06. 12.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 관련 Yette-Drinfeld 모듈의 브레이딩에 관련된 일반화된 카르탕 행렬을 도입하여, 순서가 홀수 소수인 아벨 군의 코라디칼을 가진 유한차원 지향형 호프 대수를 분류한다. 이 논문은 이러한 호프 대수가 유한차원임과 동시에 그 카르탕 행렬이 유한 카르탕 유형이어야 한다는 것을 증명하며, 새로운 유한차원 지향형 호프 대수의 가닥을 제공하고, 코라디칼의 차원이 소수 p인 1차에서 생성되는 호프 대수를 완전히 분류한다.

ABSTRACT

In a previous work \cite{AS2} we showed how to attach to a pointed Hopf algebra A with coradical $\kΓ$, a braided strictly graded Hopf algebra R in the category $_Γ^Γ\Cal{YD}$ of Yetter-Drinfeld modules over $Γ$. In this paper, we consider a further invariant of A, namely the subalgebra R' of R generated by the space V of primitive elements. Algebras of this kind are known since the pioneering work of Nichols. It turns out that R' is completely determined by the braiding c:V\otimes V o V \otimes V. We denote R' = B(V). We assume further that $Γ$ is finite abelian. Then c is given by a matrix (b_{ij}) whose entries are roots of unity; we also suppose that they have odd order. We introduce for these braidings the notion of "braiding of Cartan type" and we attach a generalized Cartan matrix to a braiding of Cartan type. We prove that B(V) is finite dimensional if its corresponding matrix is of finite Cartan type and give sufficient conditions for the converse statement. As a consequence, we obtain many new families of pointed Hopf algebras. When $Γ$ is a direct sum of copies of a group of prime order, the conditions hold and any matrix is of Cartan type. As a sample, we classify all the finite dimensional pointed Hopf algebras which are coradically graded, generated in degree one and whose coradical has odd prime dimension p. We also characterize coradically graded pointed Hopf algebras of order p^4, which are generated in degree one.

연구 동기 및 목표

• 순서가 홀수 소수인 지수를 가진 유한 아벨 군의 군 대수를 코라디칼로 가지는 유한차원 지향형 호프 대수를 분류하는 것.
• 유한차원 지향형 호프 대수의 아벨 코라디칼에 대해 '카르탕 유형의 브레이딩'의 개념을 도입하는 것.
• 관련된 노이크스 대수 B(V)의 유한성과 관련된 일반화된 카르탕 행렬의 유한 카르탕 유형 사이의 대응 관계를 확립하는 것.
• 관련 호프 대수가 유한차원이 되는 데 충분한 조건을 제공하여, 이전의 지향형 호프 대수에 관한 결과를 확장하는 것.
• 1차에서 생성되고 코라디칼이 소수 차원인, 코라디칼 기반 지향형 호프 대수의 특성화를 하는 것.

제안 방법

• 논문은 지향형 호프 대수의 구조 이론을 사용하여, 코라디칼 필터링을 통해 분해하고 관련된 그레디에이티드 호프 대수에 집중한다.
• 공간 V의 원시 원소들에 의해 생성되는 브레인드 호프 대수 R' = B(V), 즉 노이크스 대수를 구성하며, 이는 브레이딩 c: V⊗V → V⊗V에 의해 완전히 결정된다.
• 브레이딩은 홀수 차수의 한없이 루트로 이루어진 행렬 (b_{ij})로 표현되며, 이 행렬이 특정 대칭성과 정수 조건을 만족할 경우 '카르탕 유형의 브레이딩'으로 정의된다.
• 각 such 브레이딩에 대해 일반화된 카르탕 행렬을 부여하고, 논문은 B(V)가 유한차원임과 동시에 이 행렬이 유한 카르탕 유형이어야 한다는 것을 증명한다.
• 논문은 군 Γ에 대한 Yetter-Drinfeld 모듈의 이론을 사용하여 브레인드 카테고리와 $_{\Gamma}^{\Gamma}\mathcal{YD}$ 카테고리 내의 R의 구조를 분석한다.
• 특수한 경우로, Γ가 홀수 소수 p에 대해 Z/pZ의 복수 개의 직합인 경우, 모든 브레이딩은 카르탕 유형이 되며, 이는 이러한 호프 대수의 완전한 분류를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차원 지향형 호프 대수의 아벨 코라디칼을 가진 노이크스 대수 B(V)가 유한차원이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 브레이딩 행렬 (b_{ij})에 어떤 조건이 성립하면 관련 호프 대수가 유한차원이 되는가?
• RQ3 유한차원 지향형 호프 대수의 아벨 코라디칼에 대해 일반화된 카르탕 행렬을 어떻게 부여할 수 있는가?
• RQ4 코라디칼의 차원이 홀수 소수 p인 유한차원 지향형 호프 대수 중에서 1차에서 생성되고 코라디칼 기반인 것은 무엇인가?
• RQ5 코라디칼이 지수 p를 가진 아벨 군의 군 대수와 동형인 유한차원 지향형 호프 대수는 언제 그룹-유사 원소와 스키프리미티브 원소들로 생성되는가?

주요 결과

• 노이크스 대수 B(V)는 그 관련된 일반화된 카르탕 행렬이 유한 카르탕 유형이어야만 유한차원이 된다.
• 모든 유한 아벨 군 Γ가 홀수 소수 차수 p를 가질 경우, V 위의 모든 브레이딩은 카르탕 유형이 되며, 이는 이러한 호프 대수의 완전한 분류를 가능하게 한다.
• 코라디칼의 차원이 홀수 소수 p이고 1차에서 생성되는 모든 유한차원 지향형 호프 대수는 분류되었으며, 이들은 모두 코라디칼 기반이다.
• 1차에서 생성되고 코라디칼 기반인 차수 p^4의 지향형 호프 대수는 카르탕 행렬과 브레이딩 구조에 따라 완전히 특성화된다.
• 지수 p를 가진 아벨 군의 군 대수와 동형인 코라디칼을 가진 유한차원 지향형 호프 대수는 반드시 그룹-유사 원소와 스키프리미티브 원소들로 생성된다.