[논문 리뷰] Finite-Dimensional Representations constructed from Random Walks

Anna Erschler, Narutaka Ozawa|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 27.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 군 표현에서 1-코사이클의 유한차원 합성항에 대해 확률적 기준을 설정한다: 이러한 합성항은 정규화된 $ L^2 $-노름이 랜덤 워크 경로를 따라 수렴할 때이고, 뿐만 아니라 그 노름이 확률적으로 상수로 수렴할 때에만 코homologically 자명하다. 이 결과는 샤로움의 성질 $ H_{\mathrm{FD}} $에 대한 새로운 충분조건을 도출하고, 무한히 가상 아벨 몫을 갖지 않는 애먼 군에서 정규화된 차수 측도 $ \mu^{*n}(e) - \mu^{*n}(g) $의 수렴을 증명하며, 힐버트 공간으로의 조화 등변 매핑이 초수렴자 선택에 따라 달라질 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Given a $1$-cocycle $b$ with coefficients in an orthogonal representation, we show that any finite dimensional summand of $b$ is cohomologically trivial if and only if $\| b(X_n) \|^2/n$ tends to a constant in probability, where $X_n$ is the trajectory of the random walk $(G,μ)$. As a corollary, we obtain sufficient conditions for $G$ to satisfy Shalom's property $H_{\mathrm{FD}}$. Another application is a convergence to a constant in probability of $μ^{*n}(e) -μ^{*n}(g)$, $n\gg m$, normalized by its average with respect to $μ^{*m}$, for any finitely generated amenable group without infinite virtually Abelian quotients. Finally, we show that the harmonic equivariant mapping of $G$ to a Hilbert space obtained as an $U$-ultralimit of normalized $μ^{*n}- g μ^{*n}$ can depend on the ultrafilter $U$ for some groups.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 워크의 확률적 행동을 이용해 1-코사이클의 유한차원 합성항이 코homologically 자명한지의 조건을 규명한다.
• asymptotic 행동 $ \|b(X_n)\|^2 / n $ 를 이용해 군이 샤로움의 성질 $ H_{\mathrm{FD}} $를 만족하는 데 필요한 충분조건을 유도한다.
• 무한히 가상 아벨 몫을 갖지 않는 애먼 군에서 정규화된 차수 측도 $ \mu^{*n}(e) - \mu^{*n}(g) $ 의 수렴을 분석한다.
• 초수렴자 구성에서 조화 등변 매핑의 초수렴자 선택에 대한 의존성을 조사한다.

제안 방법

• 대칭 랜덤 워크 $ (G,\mu) $ 의 경로 $ X_n $ 을 사용하여 1-코사이클 $ b $ 의 $ L^2 $-노름 성장, 특히 $ \|b(X_n)\|^2 / n $ 을 분석한다.
• 1-코사이클 $ b $ 의 유한차원 합성항의 코homological 자명성과 $ \|b(X_n)\|^2 / n $ 이 상수로 확률 수렴하는 것 사이의 동치성을 확립한다.
• 조화 코사이클의 마틴게일 성질을 적용하여 일정한 기대 성장률 $ \mathbb{E}[\|b(X_n)\|^2]/n = \mathbb{E}[\|b(X_1)\|^2] $ 을 도출한다.
• 초수렴자 구성법을 사용하여 조화 등변 매핑 $ b_{\mu,U}^{p,q} $ 를 정의하고, 초수렴자 $ U $ 에 대한 의존성을 분석한다.
• 그리고치크 군의 곱을 이용한 구체적 예시를 구성하여 초수렴자 의존성과 $ \ell_p $-박리 하위군 행동을 시연한다.
• 카일리 그래프의 구조와 스케일링 함수를 활용하여, 국소 기하학이 동일한 군들 사이에서 차이 $ s(\mu^{*n})^q - (\mu^{*n})^q $ 의 $ \ell_p $-노름을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 워크 경로에 대한 어떤 확률적 조건이 1-코사이클의 모든 유한차원 합성항이 코homologically 자명하게 만들까?
• RQ2 asymptotic 행동 $ \|b(X_n)\|^2 / n $ 이 군이 샤로움의 성질 $ H_{\mathrm{FD}} $ 를 만족하는 데 필요한 새로운 충분조건을 도출할 수 있는가?
• RQ3 무한히 가상 아벨 몫을 갖지 않는 무한한 애먼 군에서, $ \mu^{*n}(e) - \mu^{*n}(g) $ 가 $ \mu^{*m} $ 에 대한 평균으로 정규화되었을 때, 확률적으로 상수로 수렴하는가?
• RQ4 초수렴자 $ U $ 에 따라 $ \mu^{*n} - g\mu^{*n} $ 의 $ U $-초수렴자로 얻어진 조화 등변 매핑이 달라질 수 있는가? 만약 그렇다면, 어떤 군들에서 이러한 현상이 발생하는가?

주요 결과

• 1-코사이클 $ b $ 의 유한차원 합성항은 $ \|b(X_n)\|^2 / n $ 이 확률적으로 상수로 수렴할 때에만 코homologically 자명하다.
• 조건 $ \|b(X_n)\|^2 / n \to c $ 가 확률적으로 성립하면, $ G $ 는 샤로움의 성질 $ H_{\mathrm{FD}} $ 를 만족하며, 이는 새로운 충분조건이 된다.
• 무한히 가상 아벨 몫을 갖지 않는 유한 생성 무한 애먼 군에 대해, $ \mu^{*n}(e) - \mu^{*n}(g) $ 가 $ \mu^{*m} $ 에 대한 평균으로 정규화되었을 때, $ n \gg m $ 일 때 확률적으로 상수로 수렴한다.
• 초수렴자 $ U $ 의 $ U $-초수렴자로 얻어진 조화 등변 매핑 $ b_{\mu,U}^{p,q} $ 는 초수렴자 $ U $ 에 따라 달라질 수 있으며, 이는 특정 그리고치크 군의 곱에서 시연되었다.
• $ D $-중복 곱에서 특정 그리고치크 군을 사용할 경우, 최소한 $ D $ 개의 서로 다른 $ \ell_p $-박리 하위군 $ H_{\mu,p,q} $ 가 존재하며, 각각은 하나의 인자 군을 제외한 모든 인자 군을 포함한다.
• $ \{1, \dots, D\} $ 에 속하는 각 $ j $ 에 대해, 주요 $ \ell_p $-박리 하위군 $ H_{\mu,p,q} $ 가 $ \prod_{k \neq j} G_k $ 를 포함하는 수열 $ n_{i,j} $ 가 존재한다.