[논문 리뷰] Finite dimensional representations of symplectic reflection algebras associated to wreath products II

Silvia Montarani|ArXiv.org|2005. 01. 11.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $S_N \ltimes \Gamma^N$ 형태의 와르템프 곱에 관련된 심플렉틱 반사 대수의 유한차원 기약 표현을 구성한다. 파라보릭 부분대수에서 유도된 표현과 트레이스 조건을 분석함으로써, 매개변수 공간 $C(\mathcal{S})$ 내에서 임의의 선형 부분공간으로의 유일한 변형이 가능함을 증명한다. 이 부분공간의 여수는 $r$이며, 이는 랭크-일의 대수 $H_{1,c}(\Gamma)$의 $r$개의 비동형 기약 모듈에 대응한다.

ABSTRACT

This note extends some results of a previous paper (math.RT/0403250) about finite dimensional representations of the wreath product symplectic reflection algebra H(k,c,N,G) of rank N attached to a finite subgroup G of SL(2,C) (here k is a number and c a class function on the set of nontrivial elements of G). Specifically, let N'=(N_1,...,N_r) be a partition of N. Consider W=W_1\otimes >...\otimes W_r an irreducible representation of S_N'=S_{N_1} imes ... imes S_{N_r}\subset S_N s.t. W_i has rectangular Young diagram for any i and let {Y_i}, i=1,...,r be a collection of irreducible non isomorphic representation of the rank 1 algebra B=H(c_0,1,G) s.t. Ext^1_B(Y_i, Y_j)=0 for any i eq j. Consider the module M'=W\otimes Y, where Y=Y_1^{N_1}\otimes ...\otimes Y_r^{N_r}, over the subalgebra S_N'#B^N \subset S_N#B^N= H(0,c_0,N,G) and form the induced module M over H(0,c_0,N,G). We show that M can be uniquely deformed along a linear subspace of codimension r in the space of the parameters (k,c) passing through c_0. This result implies the main result of math.RT/0403250 as a particular case, the case of the trivial partition N'=(N).

연구 동기 및 목표

• 와르템프 곱 $S_N \ltimes \Gamma^N$에 관련된 심플렉틱 반사 대수의 유한차원 표현에 관한 이전 결과를 확장한다.
• 파라보릭 부분대수에서 유도된 표현이 유일한 변형을 갖는 매개변수 공간 $C(\mathcal{S})$를 특성화한다.
• 기본 블록 $H_{1,c}(\Gamma)$에서 유도된 $H_{1,k,c}(\mathbf{\Gamma}_N)$의 기약 표현이 어떤 조건에서 랭크-일 빌딩 블록으로부터 올라올 수 있는지를 확립한다.
• 유한차원 기약 표현이 존재하는 $C(\mathcal{S})$ 내의 정확한 선형 부분공간을 규명한다. 이는 호모로지적이고 트레이스 기반 기법을 사용한다.

제안 방법

• 기약 표현 $W$ of $S_{\vec{N}}$ 과 랭크-일 대수 $B = H_{1,c}(\Gamma)$ 의 표현 $Y = \bigotimes_{i=1}^r Y_i^{\otimes N_i}$ 의 텐서곱에서 유도된 모듈 $M = \mathrm{Ind}_{S_{\vec{N}} \sharp B^{\otimes N}}^{S_N \sharp B^{\otimes N}} (W \otimes Y)$ 를 구성한다.
• M의 동형성 성분으로의 분해를 통해 $H_{1,k,c}(\mathbf{\Gamma}_N)$ 의 정의 관계에서 유도된 연산자의 트레이스를 계산한다.
• 관계 $[x_1, y_1] = 1 + \frac{k}{2} \sum_{j \neq 1} \sum_{\gamma \in \Gamma} s_{1j} \gamma_1 \gamma_j^{-1} + \sum_{\gamma \in \Gamma \setminus \{1\}} c_\gamma \gamma_1$ 에 트레이스 조건을 적용하여 매개변수에 대한 선형 제약 조건을 유도한다.
• 특성 이론과 양의도 내용을 활용하여 $\mathrm{Tr}_{W_1}(s_{1j})$ 와 $\mathrm{Tr}_{Y_1^{\otimes N_1}}(s_{1j} \gamma_1 \gamma_j^{-1})$ 를 계산하고, 명시적 트레이스 공식을 도출한다.
• 매개변수 $k$ 와 $c_\gamma$ 에 대한 $r$ 개의 독립된 선형 방정식의 체계를 유도하며, 각각은 $\mathcal{H}_{Y_i, m_i, l_i}$ 라는 초평면에 대응한다. 이들의 교차점 주변의 형식적 이웃이 변형 공간임을 보인다.
• 비동형 $B$-모듈의 차원 벡터들이 선형 독립이므로, $r$ 개의 조건이 독립적임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수 $k$ 와 $c$ 가 어떤 조건일 때, $H_{1,k,c}(\mathbf{\Gamma}_N)$ 의 유도 표현 $M$ 이 유일한 변형을 갖는가?
• RQ2 표현 $W_i$ 의 양의도 구조가 트레이스 계산과 그 결과로 유도된 변형 조건에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 $C(\mathcal{S})$ 내에서 유한차원 기약 표현이 존재하는 부분공간의 정확한 여수는 얼마인가?
• RQ4 Ext-소멸성과 $Y_i$ 들 간의 비동형 조건이 유도된 선형 제약 조건의 독립성을 어떻게 보장하는가?
• RQ5 표현 $M$ 의 변형 공간은 $r$ 개의 초평면 각각이 서로 다른 기약 $B$-모듈과 관련된 선형 부분공간의 형식적 이웃으로 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 유도 모듈 $M = \mathrm{Ind}_{S_{\vec{N}} \sharp B^{\otimes N}}^{S_N \sharp B^{\otimes N}} (W \otimes Y)$ 는 $C(\mathcal{S})$ 내에서 여수 $r$ 의 선형 부분공간으로의 유일한 변형을 갖는다.
• 각 $i = 1, \dots, r$ 에 대해, 변형 조건은 방정식 $\mathrm{dim}\,Y_i + \frac{k}{2}|\Gamma|(m_i - l_i) + \sum_{\gamma \in \Gamma \setminus \{1\}} c_\gamma \chi_{Y_i}(\gamma) = 0$ 으로 정의되는 초평면 $\mathcal{H}_{Y_i, m_i, l_i}$ 를 유도한다. 여기서 $m_i$ 와 $l_i$ 는 $W_i$ 의 직사각형 양의도의 차원이다.
• $r$ 개의 초평면은 서로 독립적이므로, 그 교차점의 여수는 $r$ 이며, 변형 공간은 이 교차점 주변의 형식적 이웃이다.
• 매개변수 $k$ 와 $Y_i$ 들의 구조(특히 차원 벡터와 특성)가 직접적으로 변형 위치를 결정한다.
• 증명은 $S_{N_i}$ 의 표현 $W_i$ 에서의 특성과 전치의 트레이스를 사용한 트레이스 계산에 기반한다. 이 트레이스 값은 $W_i$ 의 직사각형 양의도의 내용에 따라 달라진다.
• 결과적으로 변형 공간이 $\bigcap_{i=1}^r \mathcal{H}_{Y_i, m_i, l_i}$ 의 형식적 이웃과 동형임을 확인하며, 부분공간 $S$ 는 $\bigcap_{i=1}^r \mathcal{H}_{Y_i, m_i, l_i} - (0, c_0)$ 의 형식적 이웃이다.