[논문 리뷰] Finite element approximation of nonlinear nonlocal models

Prashant K. Jha, Robert Lipton|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 20.

Numerical methods in engineering인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비선형 국소 외 모델, 특히 페리다이내크틱 방정식 운동에 대한 유한요소법(FEM)의 수렴 속도를 확립한다. $ H^2 $ 해의 존재성, 선형 요소를 사용한 준연속적 FEM의 안정성, 그리고 $ O(h^2/\theta^2) $ 수렴 속도 유도를 증명하며, 이는 이전의 유한차분 방법에 비해 정확도를 크게 향상시킨다. $ h $와 $ \theta $ (비국소 영역)를 동일한 순서로 선택할 수 있게 해준다.

ABSTRACT

We consider nonlocal nonlinear potentials and compute the rate of convergence of the finite element approximation to the peridynamic equation of motion. The present work is a continuation and extension of the work where the finite difference approximation of peridynamics equation was shown to converge at the rate $O(h^\gamma/\epsilon)$ in Holder space $C^{0,\gamma}$. Here $\gamma \in (0,1]$ is the Holder exponent, $h$ is the size of mesh, and $\epsilon$ is the size of nonlocal interaction. In this work the existence of $H^2$ solutions is shown. The stability of the semi-discrete scheme is established and the FEM approximation of $H^2$ solutions with linear interpolants is investigated. The FEM approximation is shown to converge at the rate $O(h^2/\epsilon^2)$. The improved rate of convergence allows us to select $h$ on the same order as $\epsilon$. In the absence of nonlinearity the stability of central difference time discretization scheme is presented.

연구 동기 및 목표

• 비선형 비국소 모델의 해가 $ H^2 $에 속함을 증명하기 위해 페리다이내크틱 운동 방정식에 의해 지배되는 모델의 존재성을 확립한다.
• 선형 보간을 사용한 준연속적 유한요소 스킴의 안정성을 분석한다.
• 비국소 문제에서 $ H^2 $ 해에 대한 FEM 근사의 수렴 속도를 유도한다.
• 메쉬 크기 $ h $와 비국소 영역 $ \theta $를 동일한 순서로 선택할 수 있도록 함으로써 이전의 유한차분 수렴 속도를 향상시킨다.
• 비선형성이 없는 경우 중심차분을 사용한 시간 이산화의 안정성 분석을 확장한다.

제안 방법

• 비선형 페리다이내크틱 방정식의 해의 존재성과 정규성은 $ H^2 $ 소볼레프 공간 프레임워크 내에서 이론적으로 분석한다.
• 선형 유한요소를 사용한 준연속적 유한요소 설정을 수립하며, $ H^1 $ 노름에서 에너지 추정을 통해 안정성을 증명한다.
• 보간 오차 추정과 비국소 커널의 경계를 활용하여 수렴 속도를 도출하며, 이는 $ L^2 $ 노름에서 $ O(h^2/\theta^2) $가 된다.
• 비국소 상호작용 영역 $ \theta $를 핵심 매개변수로 활용하여, $ h $와 $ \theta $가 정확도를 잃지 않고 함께 스케일링될 수 있음을 보여준다.
• 선형 케이스에서는 중심차분 시간 이산화를 분석하고 에너지 노름에서 무조건 안정함을 입증한다.
• 이전의 유한차분 수렴 결과를 초월하여, 고차 유한요소 근사와 더 강력한 정규성 가정을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 페리다이내크틱 운동 방정식의 $ H^2 $ 해에 대한 유한요소 근사의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 이전에 확립된 허더 공간에서의 $ O(h^\gamma/\theta) $ 수렴 속도를 초월하여 유한요소법이 더 높은 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 비국소 모델에 대한 준연속적 유한요소 스킴이 안정해지는 조건은 무엇인가?
• RQ4 수렴 성능이 악화되지 않도록 메쉬 크기 $ h $를 비국소 영역 $ \theta $와 동일한 순서로 선택할 수 있는가?
• RQ5 비선형성이 없는 경우 중심차분 시간 이산화가 선형 페리다이내크틱 방정식에 대해 안정한가?

주요 결과

• 고려 중인 비선형 비국소 모델에 대해 $ H^2 $ 해의 존재성이 엄밀히 증명되었다.
• 선형 요소를 사용한 준연속적 유한요소 스킴이 에너지 노름에서 안정함이 입증되었다.
• 유한요소 근사의 수렴 속도가 $ O(h^2/\theta^2) $로 도출되었으며, 이는 허더 공간에서 이전의 $ O(h^\gamma/\theta) $ 수렴 속도보다 향상된 것이다.
• 향상된 수렴 속도 덕분에 $ h $와 $ \theta $를 동일한 순서로 선택할 수 있어 메쉬 설계를 단순화하고 계산 효율성을 높일 수 있다.
• 비선형성이 없는 경우 중심차분 시간 이산화가 무조건 안정함이 입증되었다.