[논문 리뷰] Finite element approximation of power mean curvature flow

Heiko Kröner|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 11.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $^{n+1}$에서 전력 평균 곡률 흐름(PMCF)을 근사하기 위한 유한요소 방법을 제시한다. $C^0$ 유한요소(차수 $\leq 2$)를 사용한 정규화된 레벨셋 설정 형식을 활용한다. $n=1$인 경우, $\|u - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} \leq c\epsilon^\lambda + c\epsilon^{-\gamma}h^\delta$ 형태의 수렴 속도를 입증하여, 정규화 파arameter $\epsilon$와 메쉬 크기 $h$에 대해 다항 수렴을 보인다.

ABSTRACT

In [21] the evolution of hypersurfaces in $\mathbb{R}^{n+1}$ with normal speed equal to a power $k>1$ of the mean curvature is considered and the levelset solution $u$ of the flow is obtained as the $C^0$-limit of a sequence $u^ε$ of smooth functions solving the regularized levelset equations. We prove a rate for this convergence. Then we triangulate the domain by using a tetraeder mesh and consider continuous finite elements, which are polynomials of degree $\le 2$ on each tetraeder of the triangulation. We show in the case $n=1$ (i.e. the evolving hypersurfaces are curves), that there are solutions $u^ε_h$ of the above regularized equations in the finite element sense, and estimate the approximation error between $u^ε_h$ and $u$. Our method can be extended to the case $n>1$, if one uses higher order finite elements.

연구 동기 및 목표

• 전력 평균 곡률 흐름(PMCF)을 근사하기 위한 수치적 스킴을 개발하는 것. PMCF는 법선 속도가 평균 곡률의 거듭제곱 $k>1$인 비선형 기하학적 진화이다.
• 정규화된 레벨셋 설정 형식을 중간 단계로 삼아, PMCF의 레벨셋 해에 대한 유한요소 근사의 수렴 속도를 확립하는 것.
• 정확한 점성 해 $u$, 정규화된 해 $u^\epsilon$, 유한요소 해 $u_h^\epsilon$ 사이의 오차를 허들 노름에서 분석하는 것. 특히, 허들 노름에서의 오차를 고려한다.
• 고차 유한요소를 사용하여 고차원($n>1$)으로 방법을 확장하고, 수렴 속도에 대한 이론적 근거를 제공하는 것.

제안 방법

• PMCF를 레벨셋 방정식으로 기술: $\text{div}\left(\frac{Du}{|Du|}\right) = -|Du|^{-1/k}$ in $\Omega$, $u=0$ on $\partial\Omega$, 여기서 $u$는 점성 해이다.
• 정규화된 레벨셋 방정식 도입: $\text{div}\left(\frac{Du^\epsilon}{\sqrt{\epsilon^2 + |Du^\epsilon|^2}}\right) = - (\epsilon^2 + |Du^\epsilon|^2)^{-1/(2k)}$, 이는 작은 $\epsilon>0$에 대해 부드러운 해 $u^\epsilon$를 보장한다.
• 도메인을 단체 메쉬 $\mathbb{T}_h$로 메시화하고, 각 단체에서 차수 $\leq 2$인 연속적인 $C^0$ 유한요소를 정의한다.
• 갈레르킨 또는 약한 형식을 사용하여, 정규화된 방정식을 유한요소 공간에서 풀어 유한요소 해 $u_h^\epsilon$를 구성한다.
• 오차 분해 적용: $\|u - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} \leq \|u - u^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} + \|u^\epsilon - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}}$, 첫 번째 항은 점성 해 이론으로, 두 번째 항은 유한요소 근사 이론으로 추정한다.
• 역 추정, 보간 오차 한계, $L^\mu$ 및 $H^{1,\mu}$ 노름에서의 안정성 추정을 사용하여 유한요소 오차를 제어하며, $\epsilon$ 및 $h$에 따라 변하는 상수를 정확히 추적한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $n=1$인 경우, 전력 평균 곡률 흐름의 점성 해에 대한 유한요소 근사의 수렴 속도는 $C^{0,\Theta}$ 노름에서 어떻게 되는가?
• RQ2 정규화 파arameter $\epsilon$와 메쉬 크기 $h$는 어떻게 상호작용하여 유한요소 근사에서 다항 수렴 속도를 도출하는가?
• RQ3 정확한 해 $u$, 정규화된 해 $u^\epsilon$, 유한요소 해 $u_h^\epsilon$ 사이의 오차는 $\epsilon$ 및 $h$에 대해 명시적인 의존성을 가지며 유계로 간주될 수 있는가?
• RQ4 고차 유한요소를 사용하여 유한요소 방법을 고차원($n>1$)으로 확장할 수 있으며, 다항 수렴 속도를 유지할 수 있는가?
• RQ5 고정된 시간 의존성을 가진 레벨셋 설정 형식은 곡률 항에서 거듭제곱 $k>1$의 비선형성 문제를 어떻게 단순화하는가?

주요 결과

• $n=1$인 경우, 논문은 $\|u - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} \leq c\epsilon^\lambda + c\epsilon^{-\gamma}h^\delta$ 형태의 수렴 속도를 확립한다. 여기서 $0<\Theta<\frac{1}{2}$이며, $\Theta$와 $k$에 따라 결정되는 양의 상수 $\lambda, \gamma, \delta$가 명시되어 있다.
• 점성 해 $u$와 정규화된 해 $u^\epsilon$ 사이의 오차는 $\|u - u^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} \leq c\epsilon^\lambda$로 추정되며, $\lambda = \lambda(\Theta,k)$이다. 이는 정규화된 해가 허들 노름에서 진짜 해로 수렴함을 증명한다.
• 유한요소 오차 $\|u^\epsilon - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}}$는 $c\epsilon^{-\gamma}h^\delta$로 유계로 제한되며, 이는 메쉬 크기 $h$가 $\epsilon$에 비례하여 신중히 선택되어야 수렴이 유지됨을 시사한다.
• 분석은 $L^\mu$ 및 $H^{1,\mu}$ 노름에서의 오차 추정에 기반하며, 역 추정과 보간 오차 한계를 사용하여 $h$ 및 $\epsilon$에 대한 의존성을 제어한다.
• $n>1$인 경우, 방법은 고차 유한요소로 확장되며, 수렴 속도 분석은 $n=1$의 경우에만 상세히 수행된다.
• 고정된 시간 의존성을 가진 레벨셋 설정 형식은 비선형성에서 온 거듭제곱 $k>1$의 영향을 낮은 차수의 공간 도함수로 제한함으로써, 시간 의존성 레벨셋 설정 형식에 비해 분석을 단순화한다.