[논문 리뷰] Finite Element Approximation of Transmission Eigenvalues for Anisotropic Media

Bo Gong, Jiguang Sun외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 15.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한요소법을 통해 비등방성 매질에서의 전송 고유값을 계산하기 위해 문제를 인덱스가 0인 해석적 프레드홀름 연산자 함수에 대한 고유값 문제로 재구성한다. 라그랑주 유한요소와 스펙트럼 지표 방법을 사용하여 이산 근사의 수렴성을 증명하고, 원형 및 정사각형 영역에서의 수치 예제를 통해 2차 수렴 속도를 검증한다.

ABSTRACT

The transmission eigenvalue problem arises from the inverse scattering theory for inhomogeneous media and has important applications in many qualitative methods. The problem is posted as a system of two second order partial differential equations and is essentially nonlinear, non-selfadjoint, and of higher order. It is nontrivial to develop effective numerical methods and the proof of convergence is challenging. In this paper, we formulate the transmission eigenvalue problem for anisotropic media as an eigenvalue problem of a holomorphic Fredholm operator function of index zero. The Lagrange finite elements are used for discretization and the convergence is proved using the abstract approximation theory for holomorphic operator functions. A spectral indicator method is developed to compute the eigenvalues. Numerical examples are presented for validation.

연구 동기 및 목표

• 기존 수렴 증명이 등방성 경우에 국한되어 있던 비등방성 매질에서의 전송 고유값 문제에 대해 수렴하는 유한요소법을 개발한다.
• 역산산 이론에서 유도되는 전송 고유값 문제의 비선형성과 비자기수반성 문제를 다룬다.
• 이전 수치 방법이 이론적 근거가 부족했던 비등방성 경우에 대해, 유한요소 근사의 엄밀한 수렴 분석을 제공한다.
• 복소 스펙트럼의 특정 영역 내 고유값을 효율적으로 계산하기 위한 효과적인 스펙트럼 지표 방법(SIM-H)을 설계한다.
• 다양한 비등방성 물성 매개변수를 가진 원형 및 정사각형 영역에서의 수치 실험을 통해 방법을 검증한다.

제안 방법

• 비등방성 매질에서의 전송 고유값 문제를 인덱스가 0인 해석적 프레드홀름 연산자 함수에 대한 고유값 문제로 재구성한다.
• 약한 형태의 공간 이산화에 표준 라그랑주 유한요소를 사용한다.
• 해석적 연산자 함수에 대한 일반적인 근사 이론을 적용하여 이산 고유값의 수렴성을 확립한다.
• 지정된 영역 내 복소 평면에 있는 고유값을 계산하기 위해 스펙트럼 지표 방법(SIM-H)을 구현한다.
• 고유값을 탐색하기 위해 SIM-H에서 반복적으로 다중 소스 문제를 해결하고, 경로 적분 및 투영 기법을 활용한다.
• 상대 오차와 수렴 차수 분석을 통해 수치 실험에서 수렴 속도를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비등방성 매질에서의 전송 고유값 문제에 대해 엄밀하게 수렴성이 증명된 유한요소법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 역산산 이론에서 유도되는 비선형성과 비자기수반성 문제를 변분 프레임워크 내에서 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ3 비등방성 전송 고유값에 대한 유한요소 근사의 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ4 비이sovotropic 환경에서 복소수 전송 고유값을 위한 강력하고 효율적인 고유값 해법을 설계할 수 있는가?
• RQ5 계산된 고유값은 등방성 경우의 알려진 결과와 기존 문헌의 비등방성 매질 결과와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 메쉬 정밀도를 높이는 실험을 통해 원형 및 정사각형 영역에서 실수 및 복소 전송 고유값에 대해 둘 다 2차 수렴 속도를 확보하였다.
• A = I, n = 16 인 원형 영역에서 가장 작은 양의 실수 전송 고유값은 h → 0 일 때 약 1.9887로 수렴하며, 이는 이전 결과와 일치한다.
• A = I, n = 16 인 정사각형 영역에서 가장 작은 양의 실수 고유값은 메쉬 정밀도를 높일수록 약 1.3297로 수렴한다.
• 절댓값이 가장 작고 양의 실수부를 가진 복소 전송 고유값은 원형 영역에서 약 4.9039 + 0.5782i로 수렴하며, 문헌 값과 일치한다.
• A₁ 및 A₂를 가진 비등방성 매질에 대한 수치 결과는 일관된 고유값을 보였다: λ₁ᴿ(D₁) ≈ 4.880 및 λ₁ᴿ(D₂) ≈ 3.334.
• 제안된 방법은 비등방성 매질에서 전송 고유값 유한요소 근사의 첫 번째 엄밀한 수렴 증명을 제공한다.