[논문 리뷰] Finite Element Approximations for Elliptic SPDEs with Additive Gaussian Noises

Yanzhao Cao, Jialin Hong외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 07.

Probabilistic and Robust Engineering Design인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 추가적인 가우시안 노이즈를 가진 준선형 타원형 SPDE에 대해 스펙트럼 유한요소법을 개발한다. 공분산 연산자의 스펙트럼 투영을 사용하여 노이즈를 근사함으로써 라플라스 연산자와의 가환성을 요구하지 않는다. 잘 정의됨과 최적 오차 추정을 확립하며, 백색 노이즈에 의해 구동되는 문제에서 1차원에서는 반계수만큼, 고차원에서는 무한소 정도로 수렴 속도가 향상됨을 보여준다.

ABSTRACT

The paper studies the well-posedness and optimal error estimates of spectral finite element approximations for the boundary value problems of semi-linear elliptic SPDEs driven by white or colored Gaussian noises. The noise term is approximated through the spectral projection of the covariance operator, which is not required to be commutative with the Laplacian operator. Through the convergence analysis of SPDEs with the noise terms replaced by the projected noises, the well-posedness of the SPDE is established under certain covariance operator-dependent conditions. These SPDEs with projected noises are then numerically approximated with the finite element method. A general error estimate framework is established for the finite element approximations. Based on this framework, optimal error estimates of finite element approximations for elliptic SPDEs driven by power-law noises are obtained. It is shown that with the proposed approach, convergence order of white noise driven SPDEs is improved by half for one-dimensional problems, and by an infinitesimal factor for higher-dimensional problems.

연구 동기 및 목표

• 백색 또는 색조가 있는 가우시안 노이즈에 의해 구동되는 준선형 타원형 SPDE의 잘 정의됨을 확립하기 위해.
• 유한요소법을 노이즈 공분산 연산자와 라플라스 연산자가 가환하지 않는 SPDE에 적용하기 위해.
• 해당 SPDE의 유한요소 근사에 적용 가능한 일반적인 오차 추정 프레임워크를 도출하기 위해.
• 파워-법칙 노이즈에 의해 구동되는 SPDE에 대해 최적 수렴 속도를 확보하기 위해.
• 특히 저차원 및 고차원에서 백색 노이즈에 의해 구동되는 SPDE의 수렴 순서를 향상시키기 위해.

제안 방법

• 공분산 연산자의 스펙트럼 투영을 통해 노이즈 항을 근사함으로써, 라플라스 연산자와의 가환성을 요구하지 않는 분석이 가능하도록 한다.
• 공분산 연산자에 의존하는 조건 하에서 스펙트럼 투영된 노이즈 항을 가진 SPDE의 수렴을 분석하여 잘 정의됨을 입증한다.
• 유한요소법을 투영된 SPDE를 수치적으로 해결하는 데 적용하며 수렴이 보장된다.
• 다양한 종류의 타원형 SPDE에 대해 추가 노이즈를 가진 경우에 적용 가능한 일반적인 오차 추정 프레임워크를 개발한다.
• 노이즈의 스펙트럼 구조와 해의 정규성에 기반하여 최적 오차 추정을 유도한다.
• 기능적 해석 기법과 확률적 갈레르킨 설정을 사용하여 안정성과 수렴성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이즈가 스펙트럼적으로 투영될 때, 공분산 연산자의 어떤 조건에서 SPDE가 잘 정의되는가?
• RQ2 스펙트럼 투영의 선택이 유한요소 근사의 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 파워-법칙 노이즈를 가진 타원형 SPDE의 유한요소 근사에서 달성 가능한 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 백색 노이즈에 의해 구동되는 SPDE의 수렴 순서를 향상시킬 수 있으며, 만약 가능하면 얼마나 향상되는가?
• RQ5 문제의 차원성이 제안된 방법에 의한 수렴 향상에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• SPDE의 잘 정의됨은 공분산 연산자의 스펙트럼 성질에 의존하는 조건 하에서 확립된다.
• 유한요소법은 파워-법칙 노이즈에 의해 구동되는 타원형 SPDE에 대해 최적 오차 추정을 달성한다.
• 백색 노이즈에 의해 구동되는 1차원 SPDE의 경우, 기존 방법에 비해 수렴 순서가 반계수만큼 향상된다.
• 고차원 문제에서는 스펙트럼 투영 접근법 덕분에 수렴 순서가 무한소 정도로 향상된다.
• 공분산 연산자가 라플라스 연산자와 가환하지 않더라도 이 방법은 여전히 효과적이며, 적용 범위가 넓어진다.
• 일반적인 오차 추정 프레임워크는 추가 노이즈를 가진 다양한 타원형 SPDE의 유한요소 근사 분석에 대한 견고한 기반을 제공한다.