[논문 리뷰] Finite Element Exterior Calculus for Evolution Problems

Andrew Gillette, Michael Holst외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 08.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 복합체 이론과 시간 매개변수화된 보흐너 공간에서의 반연속 갈레르킨 유한요소법을 조합하여 유한요소외적계산(FEEC) 프레임워크를 포아송형 및 쌍곡형 진화 문제로 확장한다. 자연적인 매개변수화된 힐버트 노름에서 최적의 사전 오차 추정을 수립하며, 톰에와와 제베시의 고전적 결과를 임의의 공간 차원과 혼합 유한요소 가족으로 일반화한다. 또한 홀스트-스턴 프레임워크를 기반으로 비선형 진화 시스템으로까지 확장한다.

ABSTRACT

Arnold, Falk, and Winther [Bull. Amer. Math. Soc. 47 (2010), 281--354] showed that mixed variational problems, and their numerical approximation by mixed methods, could be most completely understood using the ideas and tools of Hilbert complexes. This led to the development of the Finite Element Exterior Calculus (FEEC) for a large class of linear elliptic problems. More recently, Holst and Stern [Found. Comp. Math. 12:3 (2012), 263--293 and 363--387] extended the FEEC framework to semi-linear problems, and to problems containing variational crimes, allowing for the analysis and numerical approximation of linear and nonlinear geometric elliptic partial differential equations on Riemannian manifolds of arbitrary spatial dimension, generalizing surface finite element approximation theory. In this article, we develop another distinct extension to the FEEC, namely to parabolic and hyperbolic evolution systems, allowing for the treatment of geometric and other evolution problems. Our approach is to combine the recent work on the FEEC for elliptic problems with a classical approach to solving evolution problems via semi-discrete finite element methods, by viewing solutions to the evolution problem as lying in time-parameterized Hilbert spaces (or Bochner spaces). Building on classical approaches by Thomee for parabolic problems and Geveci for hyperbolic problems, we establish a priori error estimates for Galerkin FEM approximation in the natural parametrized Hilbert space norms. In particular, we recover the results of Thomee and Geveci for two-dimensional domains and lowest-order mixed methods as special cases, effectively extending their results to arbitrary spatial dimension and to an entire family of mixed methods. We also show how the Holst and Stern framework allows for extensions of these results to certain semi-linear evolution problems.

연구 동기 및 목표

• 유한요소외적계산(FEEC) 프레임워크를 타원형 문제에서 포아송형 및 쌍곡형 진화 문제로 확장한다.
• 톰에와(포아송형)와 제베시(쌍곡형)의 고전적 사전 오차 추정을 임의의 공간 차원과 혼합 유한요소 방법으로 일반화한다.
• 변분 범죄와 반선형 항을 FEEC 프레임워크에 통합하여 진화 시스템에 적용한다. 이는 홀스트와 스텐의 이전 연구를 기반으로 한다.
• 힐버트 복합체와 드 라함 복합체의 구조를 활용하여 시간 매개변수화된 보흐너 공간에서 오차 추정을 수립한다.
• FEEC 프레임워크가 리만 다양체 위의 기하학적 및 비선형 진화 문제에 대해 안정성과 수렴성을 보장함을 보여준다.

제안 방법

• 시간 매개변수화된 힐버트 공간(보흐너 공간)으로 진화 문제를 재구성하여, 시간에 의존하는 PDE에 FEEC 도구를 적용한다.
• 힐버트 복합체와 드 라함 복합체를 통해 진화 시스템의 혼합 변분 공식에 FEEC 프레임워크를 적용한다.
• 반연속 갈레르킨 유한요소법을 사용하여, 공간에 대해서만 이산화하고 시간 연속성을 유지한다.
• 홀스트와 스텐의 추상 오차 추정을 시간 매개변수화된 노름과 시간에 의존하는 사영으로 수정하여 진화 문제에 적용한다.
• 홀스트와 스텐 [21]의 추상 오차 추정(A.1)을 빌려와 확장하며, k=n의 경우를 단순화하고 조화형과 정확형을 제거한다.
• 유한요소 사영 π_h^k의 최적 근사 성질을 활용하여 오차 항을 정확한 해의 소볼레프 노름으로 bound한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐버트 복합체 이론을 사용하여 FEEC 프레임워크를 포아송형 및 쌍곡형 진화 문제로 확장할 수 있는가?
• RQ2 톰에와와 제베시의 고전적 사전 오차 추정이 임의의 공간 차원과 고차 혼합 유한요소 방법으로 일반화되는가?
• RQ3 FEEC 프레임워크는 진화 문제에서 변분 범죄와 반선형 항을 수용할 수 있는가?
• RQ4 드 라함 복합체와 보흐너 공간의 구조가 시간에 의존하는 혼합 유한요소법의 오차 추정 유도에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 추상 오차 추정에서 계수 η, δ, μ가 진화 문제의 수렴 속도에 어떻게 영향을 주는가?

주요 결과

• 논문은 보흐너 공간 노름에서 포아송형 및 쌍곡형 진화 문제의 갈레르킨 FEM 근사에 대해 최적의 사전 오차 추정을 수립한다.
• L² 노름에서 해 u의 오차 추정은 c(E(u) + ηE(σ) + (δ+μ)E(dσ) + μE(P_B u))로 bound되며, E(w)는 W-노름에서의 최선 근사 오차를 나타낸다.
• 드 라함 복합체에서 k=n의 경우, 조화형과 정확형을 제거함으로써 추정이 ||u - ũ_h||_L² ≤ c(E(u) + ηE(σ) + (δ+μ)E(dσ) + μE(P_B u))로 단순화된다.
• 수렴 속도는 s ≤ r+1일 때 O(h^{s+2})임을 보여주며, 여기서 s는 소볼레프 정규성, r은 유한요소 공간의 다항식 차수이다.
• 계수 η=O(h), δ=O(h^{min(2,r+1)}), μ=O(h^{r+1})는 드 라함 맥락에서의 추상 연산자 노름으로 유도된다.
• 결과는 2차원 영역과 최저차 혼합 방법의 특수한 경우로 톰에와와 제베시의 추정을 복원하고 일반화한다.