[논문 리뷰] Finite Element Solution of the Two-Dimensional Bates Model for Option Pricing Under Stochastic Volatility and Jumps

Neda Bagheri Renani, Sevcovic, Daniel|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 22.

Stochastic processes and financial applications인용 수 0

한 줄 요약

논문은 변환된 Bates PIDE에 대해 4차 수준의 압축 유한차분(HOC-FD) 스킴을 개발하고, IMEX-CN 시간 이산화와 점프 적분에 대해 Simpson 구적법을 사용하며, 2차 FD 및 이차 FEM과 비교 벤치마크를 통해 비슷한 정확도에서 효율이 우수함을 보여준다.

ABSTRACT

We propose a fourth--order compact finite--difference (HOC--FD) scheme for the transformed Bates partial integro--differential equation (PIDE). The method employs an implicit--explicit (IMEX) Crank--Nicolson framework for local terms and Simpson quadrature for the jump integral. Benchmarks against second--order finite differences (FD) and quadratic finite elements (FEM, p=2) confirm near--fourth--order spatial accuracy for HOC--FD, near--second--order for FEM, and second--order temporal convergence for all time integrators. Efficiency tests show that HOC--FD achieves similar accuracy at up to two orders of magnitude lower runtime than FEM, establishing it as a practical baseline for option pricing under stochastic volatility jump--diffusion models.

연구 동기 및 목표

• Bates 모델에서와 같이 점프가 있는 확률적 변동성 하에서의 정확한 수치 가격 책정을 고무한다.
• 변환된 Bates PIDE에 대해 고차 압축 유한차분(HOC-FD) 스킴을 개발한다.
• 표준 2차 FD 및 Quadratic FEM과의 정확도와 효율성을 평가한다.
• HOC-FD가 거의 4차 공간 정확도를 달성하고 계산 비용은 경쟁력 있음을 보인다.

제안 방법

• Bates PIDE를 수치해에 적합한 역시간 및 수치에 적합한 정규화 형태로 변환한다.
• 3x3 스텐실에서 지역 미분 연산자에 대해 4차 압축 이산화를 적용한다.
• 지역 연산자는 암묵적으로, 점프 적분은 명시적으로 IMEX–Crank–Nicolson 스킴으로 처리한다.
• 비지역성 점프 항을 절단 구간에 대해 Simpson 구적법으로 근사한다.
• 정확도(L2 및 RMSE) 및 효율성(DOF, CPU 시간) 측면에서 HOC-FD를 2차 FD 및 FEM(P2)와 벤치마크한다.

Figure 1: European put price $V(S,t)$ under the Bates model for $S\in[70,130]$ . The intrinsic payoff $\max(K-S,0)$ and the no-arbitrage lower bound $\max\{Ke^{-rT}-S,0\}$ are shown as reference curves

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구조화된 격자에서 4차 압축 유한차분 스킴이 Bates PIDE를 정확하게 풀 수 있는가?
• RQ2 공간/시간 정확도 및 계산 비용 측면에서 HOC-FD가 표준 2차 FD 및 FEM(P2)와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 명시적 점프 처리와 함께 IMEX–Crank–Nicolson 접근법이 Bates형 모델에 대해 안정적이고 효율적인가?
• RQ4 점프가 있는 확률적 변동성 하에서의 유럽식 옵션 가격 책정에 대해 HOC-FD가 FEM(P2)에 비해 얻는 효율성 이득은 무엇인가?

주요 결과

• HOC-FD는 거의 4차 수준의 공간 정확도를 달성하는 반면, FEM은 공간에서 거의 2차 정확도를 달성한다.
• 모든 타임 인티그레이터는 대략 2차 시간 수렴을 보인다.
• HOC-FD는 실질적인 효율성 향상을 제공하며, 비슷한 정확도에서 실행 시간이 일반적으로 FEM(P2)보다 두 자릿수 차이로 빠르다.
• 2차 FD와 비교할 때, HOC-FD 및 동료들은 구조화된 격자에서 비용-정확도 균형이 훨씬 우수하다.