[논문 리뷰] Finite element theory on curved domains with applications to DGFEMs

Ellya L. Kawecki|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 20.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 40인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 곡선 도메인에서 비연속 갈레르킨 유한요소법(DGFEMs)에 대한 필수적인 유한요소 추정—예를 들어, 경계 추정, 역행 추정, Poincaré–Friedrichs 추정, 그리고 보간 추정—을 수립한다. 이는 포isson 문제에 대한 IPDG 방법과 빌라르모닉 문제에 대한 $hp$-DGFEM 변형에 대해 최적의 안정성과 수렴 속도를 증명한다. 또한, 단위 원판과 같은 비다각형 도메인에서 엄밀한 오차 분석을 가능하게 하는 새로운 곡률 추정을 도입한다.

ABSTRACT

In this paper we provide key estimates used in the stability and error analysis of discontinuous Galerkin finite element methods (DGFEMs) on domains with curved boundaries. In particular, we review trace estimates, inverse estimates, discrete Poincaré--Friedrichs' inequalities, and optimal interpolation estimates in noninteger Hilbert-Sobolev norms, that are well known in the case of polytopal domains. We also prove curvature bounds for curved simplices, which does not seem to be present in the existing literature, even in the polytopal setting, since polytopal domains have piecewise zero curvature. We demonstrate the value of these estimates, by analysing the IPDG method for the Poisson problem, introduced by Douglas and Dupont [\emph{Computing Methods in Applied Sciences, Lecture Notes in Physics, vol 58. Springer, Berlin, Heidelberg}, pages 207--216. Springer, 1976], and by analysing a variant of the $hp$-DGFEM for the biharmonic problem introduced by Mozolevski and Süli [\emph{Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering}, 196(13-16):1851--1863, 2007]. In both cases we prove stability estimates and optimal a priori error estimates. Numerical results are provided, validating the proven error estimates.

연구 동기 및 목표

• 비정수 소볼레프 노름을 갖는 곡선 도메인으로의 고전적인 유한요소 추정—경계, 역행, Poincaré–Friedrichs, 보간—을 확장한다.
• 기존 문헌에서조차도 다각형 영역 설정에서조차 누락된, 곡선 단체에 대한 곡률 추정을 유도한다.
• 곡선 도메인에서 포isson 문제에 대한 IPDG 방법의 안정성과 수렴성을 분석한다.
• 빌라르모닉 문제에 대해 $hp$-DGFEM 변형의 분석을 확장하여 최적의 오차 추정을 얻는다.
• 단위 원판 도메인에서 이론적 결과를 수치 실험을 통해 검증한다.

제안 방법

• 기하적 매핑과 곡률 인식 보간을 활용하여 곡선 단체 요소에 대한 경계 및 역행 추정을 유도한다.
• 벌점 기반 DGFEMs에 특화된 이산 Poincaré–Friedrichs 부등식을 곡선 도메인에서 증명한다.
• 기하 매핑의 헤시안을 분석하여 곡선 단체에 대한 새로운 곡률 추정을 도입함으로써, 유한요소 공간 내에서 왜곡이 유한하게 유지됨을 보장한다.
• 비정수 힐버트-소볼레프 노름에서 최적의 보간 추정을 곡선 요소에 적용하여, 다각형 도메인에서의 기존 결과를 확장한다.
• 유도된 추정을 활용하여 포isson 문제에 대한 IPDG 방법과 빌라르모닉 문제에 대한 $hp$-DGFEM 변형의 안정성과 수렴성을 분석한다.
• 다양한 메쉬 크기와 다항식 차수에서 단위 원판에서의 수치 실험을 통해 이론적 수렴 속도를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DGFEMs에 대해 곡선 도메인에서 필요한 유한요소 추정—경계, 역행, Poincaré–Friedrichs, 보간—은 무엇인가?
• RQ2 곡선 단체에 대한 곡률 추정은 어떻게 엄밀히 유도할 수 있으며, 왜 오차 분석에 필수적인가?
• RQ3 포isson 문제에 대해 곡선 도메인에서 IPDG 방법의 최적의 안정성과 수렴 속도를 증명할 수 있는가?
• RQ4 빌라르모닉 문제에 대해 $hp$-DGFEM 변형을 곡선 도메인에 적용했을 때 유사한 최적의 오차 추정을 달성할 수 있는가?
• RQ5 수치 실험은 단위 원판에서 포isson 문제와 빌라르모닉 문제에 대해 이론적 수렴 속도를 확인하는가?

주요 결과

• 논문은 곡선 단체에 대한 곡률 추정을 증명하였으며, 이는 기존 문헌에서조차도 다각형 요소에 대해서도 발견되지 않은 새로운 기여이다.
• 빌라르모닉 문제에 대한 $hp$-DGFEM에서 $H^1$-반노름에서 $\mathcal{O}(h^{p})$ 및 $H^2$-노름에서 $\mathcal{O}(h^{p-1})$의 최적 수렴 속도를 달성하였으며, 이는 이론적 예측과 일치한다.
• 포isson 문제에 대해서는 IPDG 방법이 $L^2$-노름에서 $\mathcal{O}(h^{p+1})$ 및 $H^1$-노름에서 $\mathcal{O}(h^{p})$의 최적 수렴을 달성하였으며, 수치 실험으로 확인되었다.
• 단위 원판에서 두 문제에 대한 수치 결과는 이론적 추정과 일치하는 수렴 속도를 보였으며, 다항식 차수와 노름에 따라 관측된 속도가 약 2.0–4.0 수준이었다.
• 유도된 추정은 곡선 도메인에서 제2 및 제4계 타원형 편미분방정식, 비발산형 방정식 포함하여 엄밀한 안정성과 사전 오차 분석을 가능하게 한다.
• 이 틀은 향후 곡선 도메인에서 고차수 및 비발산형 타원형 문제에 대한 최적 수렴을 달성하는 데 응용될 수 있다.