[논문 리뷰] Finite elements for div and divdiv conforming symmetric tensors in arbitrary dimension

Long Chen, Xuehai Huang|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 25.

Elasticity and Material Modeling인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이중 공간 접근법을 사용하여 임의의 차원에서 대칭 텐서에 대한 div 및 divdiv-형 수렴 유한요소를 구성한다. 형상 함수를 추적, 버블, 수직 부분공간으로 분해하고, 다항식 복합체와 코즐 연산자를 통해 이중 공간을 특성화하여, 탄성 및 4차 문제에서 혼합 방법에 대해 안정적이고 형상 수렴하는 요소를 구성한다.

ABSTRACT

Several div-conforming and divdiv-conforming finite elements for symmetric tensors on simplexes in arbitrary dimension are constructed in this work. The shape function space is first split as the trace space and the bubble space. The later is further decomposed into the null space of the differential operator and its orthogonal complement. Instead of characterization of these subspaces of the shape function space, characterization of the dual spaces are provided. Vector div-conforming finite elements are firstly constructed as an introductory example. Then new symmetric div-conforming finite elements are constructed. The dual subspaces are then used as build blocks to construct divdiv conforming finite elements.

연구 동기 및 목표

• 임의의 차원에서 대칭 텐서에 대한 안정적이고 형상 수렴하는 유한요소 방법을 개발하기 위해.
• 낮은 차원을 초월해 div 및 divdiv-형 요소에 대한 체계적인 구성 방식의 부족을 해결하기 위해.
• 기존의 라비아르트-톰슨 및 BDM 유형 요소를 대칭 텐서 값 함수로 일반화하기 위해.
• 복잡한 추적 공간 분석을 피하는 이중 공간 특성화를 기반으로 한 통합 프레임워크를 제공하기 위해.
• 탄성 문제 및 4차 문제의 혼합 공식화에서 최적 수렴성과 inf-sup 안정성을 확보하기 위해.

제안 방법

• 미분 연산자를 사용하여 형상 함수 공간을 추적 공간, 버블 공간 및 그 수직 여부공간으로 분해한다.
• 그린의 공식과 다항식 복합체를 통해 이중 공간을 특성화하며, 특히 코즐 연산자의 핵을 중점적으로 다룬다.
• 이중 접근법을 통해 특정 다항식 부분공간, 특히 $\mathcal{N}(\ker(\cdot\mathbf{x}) \cap \mathbb{P}_{k-2}(K;\mathbb{S}))$에 대한 내적을 기반으로 자유도를 정의한다.
• 먼저 벡터 값 라비아르트-톰슨 및 BDM 유형 공간을 사용하여 div-형 수렴 요소를 구성한 후, 대칭 텐서 값 divdiv-형 수렴 요소로 확장한다.
• 자기장의 형상 수렴성을 향상시키기 위해 $\mathbb{P}_k(K;\mathbb{S})$에 $\mathbf{x}\mathbf{x}^T\mathbb{H}_{k-1}(K)$를 추가하여 $\mathbb{P}_k^{-}(\mathbb{S})$-형 요소를 도입한다.
• 점 값, 법선 추적, 접선 추적, 그리고 왜곡 및 대칭 기울기 연산자에 대한 모멘트를 기반으로 자유도를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 차원에서 대칭 텐서에 대한 div-형 수렴 유한요소는 어떻게 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 혼합 방법에서 법선 플럭스와 발산의 연속성을 보장하는 자유도를 정의하는 안정적이고 일반화 가능한 접근법은 무엇인가?
• RQ3 코즐 연산자를 통한 이중 공간 특성화가 형상 수렴 유한요소를 구성할 때 복잡한 추적 공간 분석을 대체할 수 있는가?
• RQ4 H(\operatorname{div}\operatorname{div})-형 수렴성을 보장하고 최적의 근사가 이루어지도록 하기 위해 divdiv-형 대칭 텐서 요소는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 제안된 divdiv-형 수렴 요소는 혼합 공식화에서 어떤 inf-sup 조건을 만족하는가?

주요 결과

• 이중 접근법은 하위공간을 명시적으로 특성화하지 않고도 버블 함수 공간의 이중 공간을 일반적이고 간단한 방법으로 특성화하는 데 기여한다.
• H(\operatorname{div};\mathbb{S})-형 수렴 요소의 구성은 핵 부분공간에 대한 $\mathcal{N}(\ker(\cdot\mathbf{x}) \cap \mathbb{P}_{k-2}(K;\mathbb{S}))$를 기반으로 한 자유도를 통해 이루어진다.
• H(\operatorname{div}\operatorname{div};\mathbb{S})-형 수렴 요소의 경우 형상 함수 공간은 $\mathbb{P}_k(K;\mathbb{S}) \oplus \mathbf{x}\mathbf{x}^T\mathbb{H}_{k-1}(K)$이며, $k \geq \max\{d,3\}$ 이다.
• 자유도에는 정점에서의 점 값, 면에서의 법선-법선 추적, 접선 추적, 그리고 왜곡 및 대칭 기울기 연산자에 대한 모멘트가 포함된다.
• 결과로 도출된 유한요소 공간은 $H(\operatorname{div}\operatorname{div};\Omega;\mathbb{S})$-형 수렴성을 보장하여 법선 플럭스와 발산 추적의 연속성을 확보한다.
• 모든 $\boldsymbol{V}_h(\operatorname{div}\operatorname{div})$ 및 $\boldsymbol{V}_h^{-}(\operatorname{div}\operatorname{div})$ 공간에 대해 inf-sup 안정성이 확립되었으며, $p_h \in \mathbb{P}_{k-2}(\mathcal{T}_h)$ 및 $\mathbb{P}_{k-1}(\mathcal{T}_h)$에 대해 $\|p_h\|_0 \lesssim \sup_{\boldsymbol{\tau}_h} \frac{(\operatorname{div}\operatorname{div}\boldsymbol{\tau}_h, p_h)}{\|\boldsymbol{\tau}_h\|_0 + \|\operatorname{div}\operatorname{div}\boldsymbol{\tau}_h\|_0}$ 이다.