[논문 리뷰] Finite elements for divdiv-conforming symmetric tensors

Long Chen, Xuehai Huang|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 04.

Elasticity and Material Modeling참고 문헌 22인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 삼각형 메esh에서 대칭 텐서에 대해 div-div 연산자에 따라 일치하는 혼합 유한요소 공간을 구축하며, 법선-법선 연속성과 스트레스의 도함수를 포함하는 추가적인 흔적 연속성을 보장한다. 다항식 복합체, 유한요소 복합체, 힐버트 복합체를 공유하는 가환 다이어그램을 수립하여, 비호모로지 방정식에 대해 최적의 오차 추정과 초수렴성을 가능하게 하며, 이는 역행을 통해 rot-rot 일치하는 변형률 요소로 확장된다.

ABSTRACT

Two types of finite element spaces on triangles are constructed for div-div conforming symmetric tensors. Besides the normal-normal continuity, the stress tensor is continuous at vertices and another trace involving combination of derivatives of stress is identified. Polynomial complex, finite element complex, and Hilbert complex are presented and a commuting diagram between them is given. The constructed div-div conforming elements are exploited to discretize the mixed formulation of the biharmonic equation. Optimal order and superconvergence error analysis is provided. By rotation, finite elements for rot-rot conforming symmetric strain are also obtained.

연구 동기 및 목표

• 삼각형 메쉬에서 대칭 스트레스 텐서에 대해 div-div 연산자에 따라 일치하는 유한요소 공간을 개발한다.
• 스트레스 텐서의 연속성 조건을 법선-법선 성분 외에도 정점에서와 스트레스의 도함수를 포함하는 흔적을 통해 보장한다.
• 가환 다이어그램을 포함한 다항식 복합체, 유한요소 복합체, 힐버트 복합체를 수립하여 유한요소 방법을 지원한다.
• 구축된 요소를 비호모로지 방정식의 혼합 형식에 적용하여 최적 수렴성과 초수렴성 분석을 수행한다.
• 역행을 통해 구축된 프레임워크를 rot-rot 일치하는 대칭 변형률 요소로 확장한다.

제안 방법

• 정점, 변의 법선-법선 모멘트, 그리고 스트레스의 도함수 조합을 포함하는 흔적을 포함한 자유도를 사용하여 삼각형에서 div-div 일치하는 대칭 텐서에 대해 두 가지 유형의 유한요소 공간을 구성한다.
• 지역 자유도를 정의하며, 정점의 점 값, 변에서 법선-법선 성분의 $ L^2 $-투영, 그리고 탄성 도함수와 발산을 조합한 흔적 기능을 포함한다.
• 힐버트 복합체, 다항식 복합체, 유한요소 복합체 사이에 가환 다이어그램을 도입하여 이산화 과정에서 구조를 유지한다.
• 구축된 유한요소를 하이브리드된 혼합 방법을 사용하여 비호모로지 방정식의 혼합 형식을 이산화한다.
• 역행을 적용하여 div-div 일치하는 스트레스 요소를 rot-rot 일치하는 변형률 요소로 변환하여 관련 문제에 적용한다.
• 일반적인 라그랑주 유한요소 기저를 사용하여 구현할 때 $ \ell = k $ 인 경우, 표준 자유도의 텐서 버전을 통해 계산을 단순화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 삼각형 메쉬에서 대칭 텐서에 대해 div-div 연산자에 따라 일치하는 유한요소 공간을 구성할 수 있는가?
• RQ2 법선-법선 연속성 외에 div-div 일치하는 대칭 텐서에 대해 필요한 추가 연속성 조건은 무엇이며, 그것이 충분한가?
• RQ3 대칭 텐서의 유한요소 공간에 대해 완전한 힐버트 복합체와 가환 다이어그램을 수립할 수 있는가?
• RQ4 이러한 요소를 비호모로지 방정식의 혼합 형식에 적용할 때 도출 가능한 오차 추정과 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ5 역행을 통해 이 프레임워크를 rot-rot 일치하는 대칭 변형률 요소로 어떻게 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 구축된 유한요소 공간은 비호모로지 방정식의 혼합 형식에 대해 최적 순서의 수렴성을 달성한다.
• 이산 해에 대해 초수렴성이 입증되어 최적 순서를 초월하는 향상된 수렴 속도를 나타낸다.
• 자유도는 정점 값, 변의 법선-법선 모멘트, 그리고 법선 성분의 탄성 도함수와 발산을 포함하는 흔적 기능을 포함하며, 유일성 보장한다.
• 힐버트 복합체, 다항식 복합체, 유한요소 복합체 사이에 가환 다이어그램이 수립되어 미분 연산자의 구조를 유지한다.
• $ \ell = k $ 인 경우, 자유도는 표준 라그랑주 요소의 자유도의 텐서 형태로 간소화되어 표준 기저 함수를 사용한 효율적인 구현이 가능하다.
• 역행을 통해 구축된 방법은 rot-rot 일치하는 대칭 변형률 요소로 확장되어 관련 문제에 대한 적용 범위를 넓힌다.