[논문 리뷰] Finite Elements with Switch Detection for Direct Optimal Control of Nonsmooth Systems

Armin Nurkanović, Mario Sperl외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 11.

Numerical methods for differential equations인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 비연속적인 우변이 있는 비연속 ODE에 대한 직접 최적 제어를 위한 고차수 수치 방법인 유한요소 스위치 탐지(Finite Elements with Switch Detection, FESD)를 소개한다. FESD는 룬게-쿠타 시간 적분기법과 비선형 보완문제, 교차 보완 조건을 통합하여 시간에 따른 스위치를 탐지함으로써, 동일한 계산 비용에서 표준 시간 스텝 방법보다 최대 100,000배 높은 정확도를 달성하고 정확한 수치 감도를 확보한다. 이는 순서 최적의 정확도를 달성한다.

ABSTRACT

This paper introduces Finite Elements with Switch Detection (FESD), a numerical discretization method for nonsmooth differential equations. We consider the Filippov convexification of these systems and a transformation into dynamic complementarity systems introduced by [Stewart, 1990]. FESD is based on solving nonlinear complementarity problems and can automatically detect nonsmooth events in time. If standard time-stepping Runge-Kutta (RK) methods are naively applied to a nonsmooth ODE, the accuracy is at best of order one. In FESD, we let the integrator step size be a degree of freedom. Additional complementarity conditions, which we call cross complementarities, enable exact switch detection, hence FESD can recover the high order accuracy that the RK methods enjoy for smooth ODE. Additional conditions called step equilibration allow the step size to change only when switches occur and thus avoid spurious degrees of freedom. Convergence results for the FESD method are derived, local uniqueness of the solution and convergence of numerical sensitivities are proven. The efficacy of FESD is demonstrated in several simulation and optimal control examples. In an optimal control problem benchmark with FESD, we achieve up to five orders of magnitude more accurate solutions than a standard time-stepping approach for the same computational time.

연구 동기 및 목표

• 비연속 벡터장이 있는 비연속 ODE에 표준 시간 스텝 방법을 적용할 경우 발생하는 낮은 정확도 및 감도 문제를 해결한다.
• 고차수 정확도와 정확한 수치 감도를 보장함으로써 하이브리드 및 스위치 시스템의 직접 최적 제어를 가능하게 한다.
• 스위칭 시퀀스에 대한 사전 지식 없이도 다중 또는 동시 스위치와 슬라이딩 모드를 탐지할 수 있는 통합 프레임워크를 개발한다.
• 엄밀한 이론적 분석을 통해 비연속 사건이 존재하는 상황에서도 해의 수렴성과 국소 유일성을 보장한다.
• 최적 제어의 '먼저 이산화하고 나서 최적화' 접근과 호환되는 강력하고 구현 가능한 방법을 제공한다.

제안 방법

• 스튜어트 변환을 통해 비연속 ODE를 동적 보완 문제 시스템으로 재구성함으로써 보완 기반의 스위치 탐지가 가능하도록 한다.
• 이산 수준에서 정확한 스위치 탐지를 보장하기 위해 교차 보완 조건을 도입하여 기초 룬게-쿠타 방법의 정확도 순서를 유지한다.
• 최적화 문제에서 시간 스텝 크기를 결정 변수로 간주하여 적응적 스텝 크기 조절이 가능하게 한다.
• 스텝 균형 조건을 적용하여 스텝 크기 변화를 오직 스위치 사건에 한정함으로써 불필요한 자유도를 제거한다.
• 해결을 위한 수학적 프로그래밍 문제(MPCC)에 대해 히브리드 방법을 사용하며, 탄성 모드 및 리아프라스 히브리드 방법을 포함하여 강건성을 확보한다.
• 필리포프 볼록화를 사용하여 비연속 벡터장에 대한 해를 정의하고, 적절한 조건 하에서 존재성과 유일성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 시간 스텝 방법이 1차 정확도에 국한되는 상황에서, 직접 최적 제어 방법이 비연속 ODE에 대해 고차수 정확도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 직접 다중 사격 프레임워크를 사용할 경우, 상태 점프나 슬라이딩 모드가 있는 비연속 시스템에 대해 정확한 수치 감도를 계산할 수 있는가?
• RQ3 제안된 FESD 방법이 스위칭 시간이나 순서에 대한 사전 지식 없이도 스위치를 정확히 탐지할 수 있는가?
• RQ4 다중 또는 동시 스위치와 슬라이딩 모드 궤적을 유지하면서도 고차수 수렴성을 확보할 수 있는가?
• RQ5 CPU 시간 대비 정확도 측면에서 FESD는 표준 시간 스텝 접근법에 비해 얼마나 효율적인가?

주요 결과

• 동일한 계산 시간 동안 FESD는 최적 제어 벤치마크에서 표준 시간 스텝 방법보다 최대 다섯 계단의 정확도 향상을 달성한다.
• Radau-IIA 및 Lobatto-IIIC 변형 FESD가 가장 효율적이며, 가우스-레이먼드 및 명시적 룬게-쿠타 방법은 슬라이딩 모드에서 발생하는 인덱스-2 DAE에서 고차수 정확도를 상실한다.
• 스위치를 정확히 탐지함으로써 FESD는 표준 방법이 앓는 비립시츠 감도 문제를 피하여 정확한 수치 감도를 보장한다.
• FESD 방법의 수렴성이 증명되었으며, 보완 문제에 대한 표준 가정 하에 해의 국소 유일성도 확립되었다.
• 복잡한 역학, 즉 슬라이딩 모드와 다중 스위치를 효과적으로 처리하며, 다양한 시험 케이스에서 강력한 성능을 보였다.
• FESD의 구현은 오픈소스 NOSNOC 툴박스에 포함되어 있으며, 상태 점프와 비연속 역학을 포함한 예제가 제공된다.