[논문 리뷰] Finite generating functions for the sum of digits sequence

Christophe Vignat, Tanay Wakhare|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 22.

semigroups and automata theory참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 2진수에서의 자릿수 합 수열 $ s_2(n) $에 대한 유한 생성 함수를 유도하며, Allouche와 Shallit의 고전적 결과를 일반화한다. $ n = 0 $ 에서 $ b^p - 1 $ 까지의 유한 합에 대해 $ s_b(n) $ 과 함수 $ f(n) $ 을 포함하고, 추가로 실수 매개변수 $ z $ 를 도입하여 히르체츠 제타 함수를 통해 닫힌 형태의 표현식을 도출하고, 딜리클레 $ L $-함수 및 확률 모델과의 연결을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We derive some new finite sums involving the sequence $s_{2}\left(n ight),$ the sum of digits of the expansion of $n$ in base $2.$ These functions allow us to generalize some classical results obtained by Allouche, Shallit and others.

연구 동기 및 목표

• 자릿수 합 함수 $ s_2(n) $ 를 포함하는 고전적 무한급수 결과를 간격 $[0, b^p - 1]$ 에서의 유한 합으로 일반화하기.
• 보조 실수 매개변수 $ z $ 를 도입하여 적분 변환을 통한 더 넓은 종류의 항등식을 가능하게 하기.
• 자릿수 합 함수와 히르체츠 제타 함수, 딜리클레 $ L $-함수와 같은 특수함수 간의 연결 고리 설정하기.
• 독립적인 베르누이 확률변수를 사용한 자릿수 합 함수의 확률적 표현을 제공하여 모멘트 계산 가능하게 하기.
• 정규화된 자릿수 합 확률변수 $ Z_N $ 의 모멘트와 촐레르트를 명시적으로 유도하고, 그 점근적 분포를 분석하기.

제안 방법

• 히르체츠 제타 함수를 통해 표현되는 $ s_b(n) $ 과 $ (z+n)^{-\beta} - (z+n+1)^{-\beta} $ 의 차분을 포함하는 유한 합 항등식 유도.
• 특히 $ s_b(bn + r) = s_b(n) + r $ 와 같은 $ s_b(n) $ 의 재귀적 성질을 활용하여 2진수 기반 자릿수 전개에 따른 합 분해.
• 매개변수 $ z $ 를 도입하여 항등식을 일반화하고, 적분 변환과 라플라스 유사 표현을 통한 함수의 가족으로의 확장 가능하게 하기.
• 각 자릿수 기여를 대응하는 독립적인 랜덤 변수 $ W_k $ 의 합으로 표현하는 확률 모델 구축, $ Z_N $ 은 이에 해당.
• 각 $ W_k $ 의 특성 함수로부터 유도된 hyperbolic cosine 항의 곱을 사용하여 $ Z_N $ 의 모멘트 생성 함수 계산.
• 촐레르트 생성 함수 유도 및 촐레르트 $ \kappa_{2n}^{(N)} $ 의 명시적 공식 유도하여, 비정규 분포로 수렴하는 경향을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자릿수 합 함수 $ s_2(n) $ 를 포함하는 고전적 무한급수, 예를 들어 리만 제타 함수 및 딜리클레 에타 함수와 관련된 것들이 매개변수 $ z $ 를 포함한 유한 합으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 합 $ \sum_{n=0}^{b^p-1} s_b(n) f(n+z) $ 에 실수 매개변수 $ z $ 를 포함함으로써, 히르체츠 제타 함수와 같은 특수함수를 통해 닫힌 형태의 표현식을 얻을 수 있는가?
• RQ3 정규화된 자릿수 합 $ Z_N $ 의 분포적 행동은 어떠한가? 그리고 그 모멘트와 촐레르트를 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 모든 $ N \to \infty $ 에서 $ Z_N $ 의 점근적 분포가 알려진 분포로 수렴하는가? 만약 그렇다면, $[-3,3]$ 에서의 균일 분포와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 유한 생성 함수를 통해 자릿수 합 함수와 딜리클레 $ L $-함수 간의 연결 고리를 형식화할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 합 $ \sum_{n=1}^{b^p-1} s_b(n) \left( \frac{1}{(z+n)^\alpha} - \frac{1}{(z+n+1)^\alpha} \right) $ 는 정리 1에 따라 히르체츠 제타 함수의 차분을 통해 닫힌 형태의 표현식을 갖는다.
• 매개변수 $ z = 0 $ 에서 $ p \to \infty $ 로의 극한은 리만 제타 함수와 딜리클레 에타 함수를 포함하는 고전적 항등식을 복원하며, Allouche와 Shallit의 결과와 일致함을 확인한다.
• $ \alpha = 1 $ 인 경우 합은 $ \sum_{n=1}^{b^p-1} \frac{s_b(n)}{n(n+1)} $ 로 줄어들며, 이는 푸트넘 경연 대회 결과 $ \sum_{n=1}^\infty \frac{s_2(n)}{n(n+1)} = 2\log 2 $ 를 일반화한다.
• 정규화된 자릿수 합 $ Z_N $ 의 평균은 $ \mu_N = 2^N - \frac{N}{2} - 1 $ 이고, 분산은 $ \sigma_N^2 = \frac{1}{9}\left(2^{2N} - \frac{3}{4}N - 1\right) $ 이며, 이는 독립적인 베르누이 성분에서 유도된다.
• 표준화된 변수 $ \hat{Z}_N $ 의 촐레르트는 $ \kappa_{2n}^{(N)} = \frac{9^n}{(4^N - \frac{3}{4}N - 1)^n} \cdot \frac{B_{2n}}{2n} \cdot \frac{4^n(4^{nN} - N - 1) + N}{4^n - 1} $ 로 주어지며, 이는 전체 모멘트 특성화를 제공한다.
• 점근적 촐레르트 $ \kappa_{2n}^{(\infty)} = \frac{B_{2n}}{2n} \cdot \frac{6^{2n}}{2^{2n} - 1} $ 는 비정규 분포로 수렴하는 점을 시사하며, 점점 $[-3,3]$ 에서의 균일 분포와 유사해진다.