[논문 리뷰] Finite group actions on Lagrangian Floer theory

Cheol‐Hyun Cho, Hansol Hong|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 17.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 27인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 호모로지 미러 대칭의 보다 정교한 프레임워크를 가능하게 하기 위해, 호모로지 미러 대칭의 보다 정교한 프레임워크를 가능하게 하기 위해, 심플렉틱 다양체와 라그랑주 부분다양체에 호환되는 군 작용을 갖는 라그랑주 플로어 이론에 유한군 작용을 구성한다. 군 작용을 스핀 구조로 확장하는 데의 장벽으로서 $H^2(G;\mathbb{Z}/2)$에 속하는 군 코hom로지 클래스인 스피너 프로파일을 도입하고, 이를 통해 $s$-등변 푸카야 카테고리와 오르비포화된 푸카야-세이델 카테고리 정의하며, 군 작용을 고려한 정교한 호모로지 미러 대칭 프레임워크를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We construct finite group actions on Lagrangian Floer theory when symplectic manifolds have finite group actions and Lagrangian submanifolds have induced group actions. We first define finite group actions on Novikov-Morse theory. We introduce the notion of a {\em spin profile} as an obstruction class of extending the group action on Lagrangian submanifold to the one on its spin structure, which is a group cohomology class in $H^2(G;\Z/2)$. For a class of Lagrangian submanifolds which have the same spin profiles, we define a finite group action on their Fukaya category. In consequence, we obtain the $s$-equivariant Fukaya category as well as the $s$-orbifolded Fukaya category for each group cohomology class $s$. We also develop a version with $G$-equivariant bundles on Lagrangian submanifolds, and explain how character group of $G$ acts on the theory. As an application, we define an orbifolded Fukaya-Seidel category of a $G$-invariant Lefschetz fibration, and also discuss homological mirror symmetry conjectures with group actions.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 다양체와 라그랑주 부분다양체의 유한군 작용을 그들의 플로어 이론적 불변량으로 확장하기.
• 라그랑주 부분다양체의 스핀 구조로의 군 작용 확장을 방해하는 장벽을 특정하고, 이를 $H^2(G;\mathbb{Z}/2)$에 속하는 코호몰로지 클래스로 정의하기.
• 동일한 스피너 프로파일을 갖는 라그랑주 부분다양체에 대해 $s$-등변 푸카야 카테고리를 구성하여 시델의 등변 구성법을 일반화하기.
• 군 작용을 갖는 레프셰츠 피브리케이션에 대해 $G$-등변 $A_{\infty}$-구조와 오르비포화된 푸카야-세이델 카테고리를 개발하기.
• $\mathbb{C}P^2$에 $\mathbb{Z}/3$-작용이 존재할 때, 등변 $A$-브레인과 $B$-브레인을 비교하여 호모로지 미러 대칭의 타당성을 검증하기.

제안 방법

• 에너지가 0인 부분군과 군 작용이 있는 노비코프 커버링을 사용하여 $G$-노비코프 이론을 정의하고, $G$-등변 플로어 복합체를 구성하기.
• 스핀 프로파일을 $H^2(G;\mathbb{Z}/2)$에 속하는 클래스로 도입하여, 라그랑주 부분다양체의 스핀 구조로의 군 작용 확장을 방해하는 정도를 측정하기.
• $G$-등변 $A_{\infty}$-작용이 $m_k(gx_1,\dots,gx_k) = g m_k(x_1,\dots,x_k)$를 만족하는 $G$-등변 푸카야 카테고리의 $G$-등변 버전으로서 $s$-등변 푸카야 카테고리를 구성하기.
• $G$-등변 $A_{\infty}$-이중모듈러와 라그랑주 부분다양체 위의 $G$-등변 평탄한 번들들을 도입하여 카테고리의 구조를 풍부하게 하기.
• $G$-작용을 갖는 레프셰츠 피브리케이션에 대해 오르비포화된 푸카야-세이델 카테고리를 정의하며, $G$-등변 편향 데이터와 오르비 노비코프 환을 사용하기.
• 군 작용의 연속성을 이용하여 정규 섬유의 $G$-작용을 특이 섬유의 작용과 연결하여 특이성의 도파이 카테고리 내에서 비교 가능하게 하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 다양체와 라그랑주 부분다양체에 대한 유한군 작용은 어떻게 그들의 플로어 이론적 불변량으로 옮겨질 수 있는가?
• RQ2 라그랑주 부분다양체의 군 작용이 그 스핀 구조로 확장될 수 없는 장벽은 무엇이며, 어떻게 표현되는가?
• RQ3 주어진 코호몰로지 클래스 $s \in H^2(G;\mathbb{Z}/2)$에 대해 $s$-등변 푸카야 카테고리를 정의할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 군 작용이 $G$-작용을 갖는 레프셰츠 피브리케이션의 푸카야-세이델 카테고리에 어떻게 영향을 주며, 이는 미러 대칭과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $\mathbb{Z}/3$-작용을 갖는 $\mathbb{C}P^2$에서 $A$-브레인에 대한 플로어 코호몰로지의 $G$-불변 부분의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 스핀 프로파일은 $H^2(G;\mathbb{Z}/2)$에 속하는 클래스로서, 라그랑주 부분다양체에 대한 $G$-작용이 스핀 구조로 확장될 수 없는 장벽이다.
• 동일한 스피너 프로파일을 갖는 라그랑주 부분다양체에 대해 $s$-등변 푸카야 카테고리를 정의할 수 있으며, 이는 $m_k(gx_1,\dots,gx_k) = g m_k(x_1,\dots,x_k)$를 만족하는 $G$-등변 $A_{\infty}$-작용을 갖는다.
• $\mathbb{C}P^2$의 $\mathbb{Z}/3$-작용 예시에서, $HF(T,T)$의 $G$-불변 부분은 차수 0에서 랭크 2이고, 차수 1에서는 0이며, 비자명한 1형식은 보존되지 않는다.
• 특이성의 도파이 카테고리 $D^b_{\text{sing}}(W^{-1}(3))$는 $\mathbb{Z}/3$-불변 객체 $\mathcal{F}$를 갖으며, $R\text{Hom}(\mathcal{F},\mathcal{F})$의 $\mathbb{Z}/3$-불변 부분은 짝수 차수에서 랭크 2이고, 홀수 차수는 자명하다.
• $\mathbb{Z}/3$-작용이 $\mathbb{C}P^2$에서 푸카야-세이델 카테고리로 옮겨지며, 홀로노미 $(1,1)$을 갖는 $A$-브레인 $T$는 $G$-불변 플로어 코호몰로지 구조를 가지며, 이는 미러 대칭과 호환된다.
• $R\text{Hom}^{1}(Ax\oplus Ay,Ax\oplus Ay)$의 $G$-불변 부분은 $\mathbb{Z}/3$가 생성자 $x$와 $y$에 비자명하게 작용하기 때문에 영이 된다.