[논문 리뷰] Finite Horizon Density Control for Static State Feedback Linearizable Systems

Kenneth F. Caluya, Abhishek Halder|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 03.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 61인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 정적 상태 피드백 선형화 가능 시스템을 위한 유한 시간 영역 밀도 제어 프레임워크를 제안하며, 최적 운반 이론과 슈뢰딩거 브리지 이론을 활용하여 초기 연합 상태 확률밀도함수를 목표 밀도로 이끌어낸다. 최소 에너지 제어기의 존재성과 유일성을 확립하고, 실현 가능한 피드백 제어 설계를 위한 계산 알고리즘을 제공하며, 피드백 선형화를 통해 벤아우-브레니에 최적 운반 이론을 비선형 시스템으로 일반화한다.

ABSTRACT

We consider the problem of steering the joint state probability density function of a static feedback linearizable control system over finite time horizon. Potential applications include controlling neuronal populations, swarm guidance, and probabilistic motion planning. Our theoretical developments reveal the structure of the minimum energy controller for the same, and can be viewed as a generalization of the Benamou-Brenier theory for dynamic optimal transport. Further analytical results are derived for solving the feasibility problem, i.e., for finding feedback that steers a given joint density function to another in fixed time, subject to the controlled nonlinear dynamics. An algorithm based on the Schrödinger bridge is proposed to approximate a feasible controller; a numerical example is worked out to illustrate the same.

연구 동기 및 목표

• 비선형 제어 시스템의 연합 상태 확률밀도함수(PDF)를 유한 시간 영역 동안 초기 상태에서 목표 PDF로 이동시키는 문제를 다루는 것.
• 최소 에너지 제어기의 구조를 유도함으로써 벤아우-브레니에 최적 운반 프레임워크를 피드백 선형화 가능한 비선형 시스템으로 확장하는 것.
• 피드백 선형화 가능한 동역학 하에서 주어진 목표 PDF가 유한 시간 내에 초기 PDF에서 도달 가능한지 여부를 판단하는 실현 가능성 문제를 해결하는 것.
• 스토케스틱 정규화를 고려한 경우에 실현 가능한 제어기를 근사하기 위한 계산 프레임워크를 개발하는 것.

제안 방법

• 논문은 제어 입력의 기대 에너지를 최소화하는 조건 하에, 제어된 비선형 동역학과 주어진 초기 및 종단 PDF를 만족하는 조건에서, 밀도 제어 문제를 유한 시간 영역 최적 제어 문제로 공식화한다.
• 피드백 선형화를 적용하여 비선형 시스템을 선형 제어 형태로 변환함으로써, 선형화된 시스템에 대해 최적 운반 이론을 적용할 수 있도록 한다.
• 최소 에너지 제어기는 비자율적 기울기 벡터장으로 유도되며, 비선형 피드백 선형화 가능 시스템으로의 벤아우-브레니에 해를 일반화한다.
• 주어진 극단 분포를 갖는 스토케스틱 정규화 문제를 해결함으로써, 실현 가능한 제어기를 근사하는 데 기반한 계산 알고리즘을 제안한다.
• 역함수 정리와 변환 사상의 야코비안의 스펙트럼 분석을 통해 해의 존재성과 유일성을 증명하며, 잠재 함수의 헤시안 행렬이 양의 정부호임을 보장하는 조건을 만족할 경우를 가정한다.
• 노르말리티 구조를 갖는 선형 정수계수 시스템에 대해 상태 전이 행렬과 가용성 그라미안의 명시적 공식을 유도하여, 제어기 성분의 해석적 계산을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정적 상태 피드백 선형화 가능 시스템에서의 유한 시간 영역 밀도 제어에 대해 최소 에너지 제어 입력을 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 피드백 선형화 가능한 동역학 하에서 어떤 조건에서 목표 연합 PDF가 초기 PDF에서 유한 시간 내에 도달 가능한가?
• RQ3 피드백 선형화를 통해 비선형 시스템에 대해 슈뢰딩거 브리지 프레임워크를 어떻게 조정하여 실현 가능한 제어기를 근사할 수 있는가?
• RQ4 선형화된 시스템에서 잠재 함수와 그 헤시안의 구조적 형태로 최적 제어기가 어떻게 표현되는가?
• RQ5 가용성 그라미안과 상태 전이 행렬은 밀도 제어 문제의 실현 가능성과 에너지 비용에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 피드백 선형화 가능 시스템의 최소 에너지 제어기는 비자율적 기울기 벡터장으로 나타나며, 벤아우-브레니에 이론을 비선형 시스템으로 일반화한다.
• 잠재 함수의 헤시안 행렬이 양의 정부호이고 종단 PDF가 0에서 양의 거리를 유지할 경우, 밀도 제어 문제의 해가 존재하고 유일함이 입증된다.
• 노르말리티 구조를 갖는 선형 정수계수 시스템에 대해 상태 전이 행렬과 가용성 그라미안에 대한 명시적 닫힌 형태의 표현식이 도출되었으며, 이는 제어기의 해석적 계산을 가능하게 한다.
• 초기 상태에서 종단 상태로의 변환 사상의 야코비안이 비특이적임을 증명하여, 사상의 역행이 가능하고 따라서 실현 가능성 문제의 유일한 해 존재성을 보장한다.
• 슈뢰딩거 브리지 기반 알고리즘이 실현 가능한 제어기를 성공적으로 근사하였으며, 수치적 검증을 통해 저차원 예제에서 수렴성과 실현 가능성의 타당성을 입증하였다.
• 피드백 선형화를 활용하여 최적 운반 이론을 비선형 시스템으로 일반화함으로써, 비선형 동역학 하에서 최소 에너지 및 실현 가능한 밀도 형상 조절이 가능해졌다.