[논문 리뷰] Finite $p$-groups of birational automorphisms and characterizations of rational varieties

Jinsong Xu|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유리적으로 연결된 대상에 대해 유리성 기준을 유한한 $p$-군의 순열 자동형사상 군을 이용해 설정한다: 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 $n$차원 유리적으로 연결된 대상의 순열 자동형사상 군이 충분히 큰 소수 $p > R(n)$ 에 대해 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ 와 동형인 부분군을 포함한다면, 그 대상은 유리적이다. 증명은 $G$-등변 최소 모델 프로그램(MMP), 팔로르 다양체의 유계성, 차원에 대한 귀납법을 사용하며, 이러한 $p$-군이 토러스 작용과 유리적 피복을 통해 유리성을 유도함을 보여준다.

ABSTRACT

We study finite $p$-subgroups of birational automorphism groups. By virtue of boundedness theorem of Fano varieties, we prove that there exists a constant $R(n)$ such that a rationally connected variety of dimension $n$ over an algebraically closed field is rational if its birational automorphism group contains a $p$-subgroups of maximal rank for $p > R(n)$. Some related applications on Jordan property are discussed.

연구 동기 및 목표

• 유리적으로 연결된 대상이 그 순열 자동형사상 군 내에 큰 초등 아벨 $p$-군이 존재할 경우에 어떤 조건에서 유리적임을 규명하는 것.
• 칸타트의 유리 대상에 대한 순열 자동형사상 군에 의한 특성화를 일반화하여, 노르말리티 벡터 군 작용을 유한한 $p$-군 작용으로 대체하는 것.
• 만일 $\mathrm{Bir}(X)$ 내에 큰 $p$-부분군이 존재한다면, 그에 의해 $X$가 토러스 또는 아벨 다양체 작용을 갖는 대상과 순열적으로 동치임을 조사하는 것.
• 크레모나 군에 대한 조르당 성질 결과를 강화하여, 이를 유리성과 기하학적 구조와 연결하는 것.
• 비-조르당 순열 자동형사상 군을 갖는 다양체의 특성화를 비자명한 준아벨 다양체 작용을 통해 제안하는 것.

제안 방법

• 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 프로젝티브이고 비특이한 유리적으로 연결된 다양체 $X$에 대해, 유한한 $p$-군 $G \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ 의 충실한 작용을 갖는 $G$-등변 최소 모델 프로그램(MMP)을 적용하는 것.
• 팔로르 다양체의 유계성 정리(BABB)를 사용하여, 큰 $p$ 에 대해 이러한 $p$-군이 자동형사상 군의 최대 토러스에 포함됨을 보여, 이는 토리크 구조와 유리성으로 이어진다.
• 특이점이 없는 $G$-모리 피복 공간 $f: Y \to Z$ 를 통해 $p$-군 작용을 분해하여, 정확한 수열 $1 \to G' \to G \to G'' \to 1$ 이 일반 섬유와 기저에 작용함을 보이는 것.
• 차원에 대한 귀납법 적용: $p > R(\dim Z)$ 이고 $p > R(\dim Y_\eta)$ 일 때, 기저 $Z$ 와 일반 섬유 $Y_\eta$ 가 유리적임을 가정하는 것.
• 정리 1.1(프로호로프–슈람프)을 활용하여 $\mathrm{Bir}(X)$ 내의 $p$-부분군의 랭크를 유계화하여, 큰 $p$ 에 대해 최대 랭크임을 보장하는 것.
• 체 $k$ 가 모든 원주율을 포함하므로, $\mathrm{PGL}(n+1,k)$ 를 $\mathrm{Cr}_n(k)$ 에 매립시켜, 랭크 $n$ 의 $p$-부분군을 구성할 수 있음을 이용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리적으로 연결된 $n$-차원 대상 $X$ 에 대해, $\mathrm{Bir}(X)$ 내에 랭크 $n$ 인 큰 초등 아벨 $p$-군이 존재할 경우, 어떤 조건에서 $X$ 가 유리적임을 보장할 수 있는가?
• RQ2 큰 $p$ 에 대해 $\mathrm{Bir}(X)$ 내에 최대 랭크의 $p$-부분군이 존재한다면, 이는 $X$ 가 토러스 또는 아벨 다양체 작용을 갖는 대상과 순열적으로 동치임을 강제하는가?
• RQ3 어떤 다양체의 순열 자동형사상 군이 $\mathrm{Cr}_n(k)$ 와 동형인 부분군을 갖는 것은 오직 그 다양체가 유리적일 때에만 가능한가?
• RQ4 모든 $n$-차원 유리적으로 연결된 대상이 $\mathrm{Bir}(X)$ 내에 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$-작용을 갖는다면, $p > R(n)$ 일 때 $X$ 가 유리적임을 보장하는 정확한 임계값 $R(n)$ 은 무엇인가?
• RQ5 비-조르당 순열 자동형사상 군을 갖는 다양체는 비자명한 준아벨 다양체의 충실한 작용이 존재함으로써 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 차수 $n$ 에만 의존하는 상수 $R(n)$ 이 존재하여, 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 유리적으로 연결된 $n$차원 대상 $X$ 가 $\mathrm{Bir}(X)$ 내에 $G \cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ 와 동형인 부분군을 갖는다면, $p > R(n)$ 일 때 $X$ 는 유리적이다.
• 증명은 $G$-MMP 를 실행하고 팔로르 다양체의 유계성을 이용하여 $G$ 가 최대 토러스에 포함됨을 보여, 이는 토리크 구조와 따라서 유리성을 암시한다.
• 삼중체의 경우, $\mathrm{Bir}(X)$ 는 오직 $X$ 가 타원곡선 $E$ 와 군 작용을 갖는 $\mathbb{P}^1 \times (E \times^G F)$ 와 순열적으로 동치이거나, 아벨 곡면 $A$ 를 갖는 $\mathbb{P}^1 \times A$ 와 순열적으로 동치일 때에만 조르당이 아님을 보여준다.
• $\mathrm{Bir}(X)$ 내에 전체 크레모나 군 $\mathrm{Cr}_n(k)$ 과 동형인 부분군이 존재하면, $X$ 는 $k$-유리적임을 보여주며, 캔타트의 결과를 일반화한다.
• $G$-모리 피복 공간에서 기저와 일반 섬유의 유리성은 귀납법과 큰 $p$ 에서의 $p$-군 랭크의 최대성에 의해 보장되며, 이는 전체 공간이 유리적임을 보장한다.
• 논문은 프로호로프와 쇼람프의 질문에 특수한 경우에 대해 긍정적으로 답하며, 비-조르당 순열 자동형사상 군을 비자명한 준아벨 작용을 통해 특성화하는 추측적 기준을 제공한다.