[논문 리뷰] Finite part of operator K-theory for groups finitely embeddable into Hilbert space and the degree of non-rigidity of manifolds

Shmuel Weinberger, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 22.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 21인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간에 유한하게 삽입 가능한 군의 최대 C*-대수에서 연산자 K-이론의 유한 부분에 대한 하한을, 유한 차수 군 원소와 관련된 비자명한 멱등원을 사용하여 설정한다. 주요 결과는 유한하게 삽입 가능한 기본군을 가진 다발의 구조군과 양의 스칼라 곡률 메트릭의 아벨 군에 대한 질량 하한을 제시하는 것으로, 차원이 $4k-1$ ($k>1$) 이며 $2k-1$ ($k>2$) 인 다발에 적용 가능하다.

ABSTRACT

In this paper, we study lower bounds on the K-theory of the maximal $C^*$-algebra of a discrete group based on the amount of torsion it contains. We call this the finite part of the operator K-theory and give a lower bound that is valid for a large class of groups, called the "finitely embeddable groups". The class of finitely embeddable groups includes all residually finite groups, amenable groups, Gromov's monster groups, virtually torsion free groups (e.g. $Out(F_n)$), and any group of analytic diffeomorphisms of an analytic connected manifold fixing a given point. It is an open question if every countable group is finitely embeddable. We apply this result to measure the degree of non-rigidity for any compact oriented manifold $M$ with dimension $4k-1$ $(k>1)$. We derive a lower bound on the rank of the structure group $S(M)$ in this case. For a compact Riemannian manifold $M$ with dimension greater than or equal to 5 and positive scalar curvature metric, there is an abelian group $P(M)$ that measures the size of the space of all positive scalar curvature metrics on $M$. We obtain a lower bound on the rank of the abelian group $P(M)$ when the compact smooth spin manifold $M$ has dimension $2k-1$ $(k>2)$ and the fundamental group of $M$ is finitely embeddable.

연구 동기 및 목표

• 이산 군의 최대 C*-대수에서 연산자 K-이론의 유한 부분에 대한 개념적 하한을 설정하는 것.
• 이 하한이 유효하고 군 포함에 대해 안정적인 광범위한 군의 클래스—힐버트 공간에 유한하게 삽입 가능한 군—를 특정하는 것.
• 유한 부분 K-이론 하한을 이용해 차원 $4k-1$ ($k>1$) 인 컴팩트이고 올림된 다발에서 위상수학적 비정규성의 정도를 측정하는 것.
• 컴팩트 스피너 다발에서 차원 $2k-1$ ($k>2$) 인 양의 스칼라 곡률 메트릭의 공간을 측정하는 아벨 군 $P(M)$ 의 질량의 하한을 유도하는 것.

제안 방법

• 비자명한 유한 차수 원소 $g \in G$ 에 대해 $p_g = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^d g^k$ 를 정의하고, $K_0^{\text{fin}}(C^*(G))$ 를 $K_0(C^*(G))$ 의 아벨 부분군으로서 $[p_g]$ 에 의해 생성된 것으로 정의한다.
• 군 대수에서의 추적 사상이 유한 부분군에서 $K_0$ 원소를 탐지하고, 군 포함에 대해 안정성을 확보한다.
• 힐버트 공간에의 유한 삽입을 도입하여, 군의 거칠은 삽입을 일반화하며, 잔여 유한군, 아벨 군, 하이퍼볼릭 군, $\mathrm{Out}(F_n)$ 등을 포함한다.
• 유한 부분 $K_0^{\text{fin}}(C^*(G))$ 에 대한 하한을 조립 맵에 적용하고, 유한 차수 원소에서 유래한 $K_0$ 원소가 조립 맵의 상에 속하지 않음을 보인다.
• $L^2$-지표 정리와 추적 추론을 사용하여, 조립 맵 아래에서 $K$-호모로지 클래스의 이미지의 추적을 프레드홀름 지표와 연결한다.
• 다발 $M$ 의 구조군 $S(M)$ 과 양의 스칼라 곡률 메트릭의 군 $P(M)$ 의 질량이 $π_1(M)$ 에서 비자명한 유한 차수 원소의 공轭류 수에 의해 하한이 있음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 군의 최대 C*-대수에서 연산자 K-이론의 유한 부분에 대한 안정적이고 개념적인 하한은 무엇인가?
• RQ2 어떤 군의 클래스가 이러한 하한을 가질 수 있으며, 힐버트 공간에의 유한 삽입은 이와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 이러한 K-이론 하한을 이용해 차원 $4k-1$ 인 컴팩트이고 올림된 다발에서의 비정규성 정도를 어떻게 측정할 수 있는가?
• RQ4 컴팩트 스피너 다발에서 차원 $2k-1$ 인 양의 스칼라 곡률 메트릭의 공간을 측정하는 아벨 군 $P(M)$ 의 질량 하한은 무엇인가?
• RQ5 유한 부분 $K_0(C^*(G))$ 는 군 포함에 대해 유지되며, 조립 맵의 상에 속하지 않는 비자명한 원소를 감지할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 유한하게 삽입 가능한 군 $G$ 에 대해, 유한 부분 $K_0^{\text{fin}}(C^*(G))$ 는 $G$ 에서 비자명한 유한 차수 원소의 공轭류 수와 같은 질량을 가진 부분군을 포함한다.
• $g \in G$ 에 대응하는 $K_0$ 원소 $[p_g]$ 는 비자명한 유한 차수 원소의 공轭류 수와 같은 질량을 가진 부분군을 생성하며, 이러한 원소들은 조립 맵의 상에 속하지 않는다.
• 차원 $4k-1$ ($k>1$) 인 컴팩트이고 올림된 다발 $M$ 에 대해, 구조군 $S(M)$ 의 질량은 $π_1(M)$ 에서 비자명한 유한 차수 원소의 공轭류 수에 의해 하한이 있다.
• 양의 스칼라 곡률을 가지며 유한하게 삽입 가능한 기본군을 가진 컴팩트 스무스 스피너 다발 $M$ 에 대해, 아벨 군 $P(M)$ 의 질량은 $π_1(M)$ 에서 비자명한 유한 차수 원소의 공轭류 수에 의해 하한이 있다.
• $C^*(G)$ 에서의 추적은 $\tau(\mu[(F,H)]) = \text{index}(F)$ 를 만족하며, 이는 최대 군 $C^*$-대수에서 아티야의 $L^2$-지표 정리의 유사체를 증명한다.
• 결과는 잔여 유한군, 아벨 군, 하이퍼볼릭 군, $\mathrm{Out}(F_n)$, 그리고 한 점을 고정하는 해석적 미분동형군을 포함하는 모든 유한하게 삽입 가능한 군의 클래스에 대해 성립한다.