[논문 리뷰] Finite subgraphs of uncountably chromatic graphs

Péter Komjáth, Saharon Shelah|ArXiv.org|2002. 12. 04.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 부분그래프의 색수 성장이 임의로 느린 속도로 일어나는 비가чёт 수 색수를 가진 비가чёт 수 색수 그래프의 일致성을 확립하며, 에르되시가 제기한 250달러 문제를 해결한다. 이는 타일러 추측이 일부 집합론 모델에서 실패할 수 있음을 보이며, 동시에 주어진 비가чёт 수 색수 그래프의 유도 부분그래프인 색수가 임의로 큰 그래프의 존재를 증명한다.

ABSTRACT

It is consistent that for every monotonically increasing function f:omega->omega there is a graph with size and chromatic number aleph_1 in which every n-chromatic subgraph has at least f(n) elements (n >= 3). This solves a $250 problem of Erdos. It is also consistent that there is a graph X with Chr(X)=|X|= aleph_1 such that if Y is a graph all whose finite subgraphs occur in X then Chr(Y)<=aleph_2 (so the Taylor conjecture may fail).

연구 동기 및 목표

• 비가чёт 수 색수 그래프의 유한 부분그래프에서 색수 성장이 느리다는 오랜 동안의 에르되시 추측을 해결하기 위해.
• 모든 비가чёт 수 색수 그래프가 이동 그래프의 모든 유한 부분그래프를 포함해야 하는가를 구조적 그래프 이론에서 핵심적인 질문으로 조사하기 위해.
• 타일러 추측의 일관성을 결정하기 위해, 이 추측은 모든 비가чёт 수 색수 그래프가 다른 비가чёт 수 색수 그래프의 모든 유한 부분그래프를 생성할 수 있다고 주장한다.
• 특정 기수 제약 조건을 가진 집합론 모델에서 그래프의 색수와 그 유한 부분그래프의 색수 간의 관계를 탐구하기 위해.
• 고정된 비가чёт 수 색수 그래프의 유한 부분그래프가 유도 부분그래프인 색수가 임의로 큰 그래프의 존재를 탐색하기 위해.

제안 방법

• 색수가 $\aleph_1$인 그래프의 유한 부분그래프가 색수가 임의로 느리게 증가하는 모델을 구성하기 위해, 특히 $P \ast Q^f$의 곱 포스팅을 사용한다.
• 한프 수의 추론과 포스팅 확장에서의 유한 부분그래프 색수의 절대성( absoluteness )을 활용하여 부분그래프의 색수 성장률을 제어한다.
• 라도 선택 원리(또는 컴acts성 정리)를 적용하여 그래프를 연장함으로써, 모든 유도 부분그래프가 주어진 기저 그래프 $X$의 유도 부분그래프로 남도록 한다.
• 모든 기수를 $\aleph_0$로 축소시켜 색수를 제어할 수 있도록, $\text{Col}(\omega, \kappa)$의 축소 포스팅을 사용한다.
• 임의의 그래프가 포스팅 확장에서의 기저 모델의 $|P \ast Q^f| = \aleph_1$ 개의 유한 색수를 가진 부분그래프들의 합집합임을 이용하여, 결과 그래프의 색수를 유계로 둔다.
• 각 유한 부분집합에 대해 적절한 초그래프를 유한 개 사용하여, $Z$와 같은 정점 집합을 가진 그래프 $Z'$를 구성함으로써, $Z'$의 모든 유도 부분그래프가 $X$의 유도 부분그래프임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 함수 $f: \omega \to \omega$에 대해, $|X| = \text{Chr}(X) = \aleph_1$인 그래프 $X$가 존재하여, 모든 $n$-색수 부분그래프가 최소 $f(n)$개의 정점을 가져야 하는 것이 일관된가?
• RQ2 타일러 추측—모든 비가чёт 수 색수 그래프가 다른 비가чёт 수 색수 그래프의 모든 유한 부분그래프를 생성해야 한다—가 일관적으로 거짓일 수 있는가?
• RQ3 모든 그래프 $X$에 대해 $\text{Chr}(X) \geq \aleph_2$이면, 유한 부분그래프가 $X$의 유도 부분그래프인 색수가 임의로 큰 그래프 $Y$가 존재하는 것이 일관된가?
• RQ4 모든 색수가 적어도 그 기수 이상인 그래프가 유한 부분그래프를 통해 임의로 큰 색수 그래프를 생성하는 성질을 가질 최소의 한프 수는 무엇인가?
• RQ5 비가чёт 수 색수 그래프의 유한 부분그래프에서 색수 성장률을, 주어진 함수 $f$보다 더 느리게, 즉 임의로 느리게 만들 수 있는가?

주요 결과

• 모든 단조 증가 함수 $f: \omega \to \omega$에 대해, $|X| = \text{Chr}(X) = \aleph_1$인 그래프 $X$가 존재하여, $n \geq 3$일 때 모든 $n$-색수 부분그래프가 최소 $f(n)$개의 정점을 가져야 하는 것이 일관된다.
• 색수가 $\text{Chr}(X) = |X| = \aleph_1$인 그래프 $X$가 존재하여, 모든 유한 부분그래프가 $X$에 포함되는 그래프 $Y$는 $\text{Chr}(Y) \leq \aleph_2$임을 보장하는 것이 일관되며, 이는 타일러 추측에 대한 일관된 부정적 답변을 제공한다.
• 색수가 $\text{Chr}(X) \geq \aleph_2$인 그래프 $X$가 존재하는 한, 모든 기수 $\lambda$에 대해 색수가 $\text{Chr}(Y) \geq \lambda$인 그래프 $Y$가 존재하여, $Y$의 모든 유한 부분그래프가 $X$의 유도 부분그래프임을 보장하는 것이 일관된다.
• 포스팅 확장에서 구성된 그래프 $Y$의 색수는 $\aleph_2$ 이하로 유계이므로, $Y$는 기저 모델의 $\aleph_1$개의 부분그래프들의 합집합이며, 각 부분그래프는 유한 색수를 가진다.
• 색수가 적어도 $\kappa$ 이상인 모든 그래프가 유한 부분그래프를 통해 임의로 큰 색수 그래프를 생성하는 성질을 가질 최소의 한프 수는 일부 모델에서 $\aleph_2$ 이하이다.
• 라도 선택 원리를 통해, $Z$를 확장하여 $Z'$를 구성할 수 있으며, 이때 $Z'$의 모든 유도 부분그래프가 $X$의 유도 부분그래프임을 보장한다. 이를 통해 유도 부분그래프 제약 조건을 가진 고색수 그래프의 구성이 가능해진다.