[논문 리뷰] Finite symmetric integral tensor categories with the Chevalley property

Pavel Etingof, Shlomo Gelaki|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 02.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 p > 2인 대수적으로 닫힌 체 위에서 모든 유한 대칭 정수 텐서 범주가 체발리 성질을 만족할 경우, 초벡터 공간으로의 대칭 섬유 함자를 갖는 것을 증명하며, 유한 초군집단 스킴과 순서 ≤2인 군형 원소를 통한 완전한 분류를 확립한다. 주요 결과는 이 설정에서 올스트릭의 추측을 확인하며, 삼각형 쿼티-호프 대수와 제한된 포괄 대수의 스위드러 코homology 분류로 확장된다.

ABSTRACT

We prove that every finite symmetric integral tensor category $\mathcal{C}$ with the Chevalley property over an algebraically closed field $k$ of characteristic $p>2$ admits a symmetric fiber functor to $ ext{sVec}$. This proves Ostrik's conjecture \cite[Conjecture 1.3]{o} in this case. Equivalently, we prove that there exists a unique finite supergroup scheme $\mathcal{G}$ over $k$ and a grouplike element $ε\in k[\mathcal{G}]$ of order $\le 2$, whose action by conjugation on $\mathcal{G}$ coincides with the parity automorphism of $\mathcal{G}$, such that $\mathcal{C}$ is symmetric tensor equivalent to $\Rep(\mathcal{G},ε)$. In particular, when $\mathcal{C}$ is unipotent, the functor lands in $\Vect$, so $\mathcal{C}$ is symmetric tensor equivalent to $\Rep(U)$ for a unique finite unipotent group scheme $U$ over $k$. We apply our result and the results of \cite{g} to classify certain finite dimensional triangular Hopf algebras with the Chevalley property over $k$ (e.g., local), in group scheme-theoretical terms. Finally, we compute the Sweedler cohomology of restricted enveloping algebras over an algebraically closed field $k$ of characteristic $p>0$, classify associators for their duals, and study finite dimensional (not necessarily triangular) local quasi-Hopf algebras and finite (not necessarily symmetric) unipotent tensor categories over an algebraically closed field $k$ of characteristic $p>0$. The appendix by K. Coulembier and P. Etingof gives another proof of the above classification results using the recent paper \cite{Co}, and, more generally, shows that the maximal Tannakian and super-Tannakian subcategory of a symmetric tensor category over a field of characteristic $ e 2$ is always a Serre subcategory.

연구 동기 및 목표

• 특성 p > 2인 대수적으로 닫힌 체 위에서 체발리 성질을 가진 모든 유한 대칭 정수 텐서 범주를 분류하는 것.
• 이러한 범주가 초벡터 공간으로의 대칭 섬유 함자를 갖는다는 올스트릭의 추측을 증명하는 것.
• 군집단 이론적 방법을 사용하여 체발리 성질을 가진 유한 차원 삼각형 쿼티-호프 대수를 분류하는 것.
• 제한된 포괄 대수의 쌍대체에 대한 연장자들을 분류하기 위해 스위드러 코homology를 계산하는 것.
• 양의 특성에서 유한 차원 국소 쿼티-호프 대수와 유니포텐트 텐서 범주를 연구하는 것.

제안 방법

• 유한 (초)군집단 스킴 이론과 대칭 섬유 함자를 사용하여 텐서 범주를 표현 범주로 실현한다.
• [O, 정리 1.1]과 [EOV, 정리 8.1]의 결과를 적용하여 분류 문제를 특정 자동형을 갖는 초군집단 스킴으로 환원한다.
• 가짜회전 등가 개념을 사용하여 삼각형 쿼티-호프 대수를 등가 관계 기준으로 분류한다.
• 스위드러 코homology를 포함한 코homological 기법을 활용하여 제한된 포괄 대수의 쌍대체에 대한 연장자들을 분류한다.
• 탄나카 및 수퍼-탄나카 이론을 적용하여, 최대 탄나카 및 수퍼-탄나카 부분범주가 세르 부분범주임을 보인다.
• 유한 연결 군집단의 좌표 대수에 대한 함자적 코homology 계산을 활용하여, [FN]의 결과를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 p > 2인 체 위에서 체발리 성질을 가진 모든 유한 대칭 정수 텐서 범주는 초벡터 공간으로의 대칭 섬유 함자를 갖는가?
• RQ2 이러한 범주는 유한 초군집단 스킴과 순서 ≤2인 군형 원소를 통해 분류될 수 있는가?
• RQ3 양의 특성에서 체발리 성질을 가진 유한 차원 삼각형 쿼티-호프 대수의 구조는 어떠한가?
• RQ4 특성 p > 0에서 제한된 포괄 대수의 스위드러 코homology는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ5 특성 ≠ 2인 체 위에서 대칭 텐서 범주의 최대 탄나카 및 수퍼-탄나카 부분범주는 항상 세르 부분범주인가?

주요 결과

• 특성 p > 2인 대수적으로 닫힌 체 위에서 체발리 성질을 가진 모든 유한 대칭 정수 텐서 범주는 초벡터 공간의 범주로의 대칭 섬유 함자를 갖는다.
• 이러한 범주는 유일한 유한 초군집단 스킴 G와 순서 ≤2인 군형 원소 ǫ ∈ kG에 대해 Rep(G, ǫ)와 대칭 텐서 등가이다. 여기서 G의 코어드레션 작용은 G의 페어리티 자동형과 일치한다.
• 범주가 유니포텐트일 경우, 섬유 함자는 Vec로 떨어지므로, 이 범주는 유일한 유한 유니포텐트 군집단 스킴 U에 대해 Rep(U)와 대칭 텐서 등가이다.
• 특성 ≠ 2인 체 위에서 대칭 텐서 범주의 최대 탄나카 및 수퍼-탄나카 부분범주는 항상 세르 부분범주이다.
• 특성 p > 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서 제한된 포괄 대수의 스위드러 코homology가 계산되었으며, 그 쌍대체에 대한 연장자들이 완전히 분류되었다.
• 특성 p > 0에서 유한 차원 국소 쿼티-호프 대수와 유니포텐트 텐서 범주는 군집단 이론적 방법을 통해 완전히 분류되었다.