[논문 리뷰] FINITE TEMPERATURE CORRELATION FUNCTIONS AND MODULAR FORMS IN A GLOBALLY CONFORMAL INVARIANT QFT

Nikolay Nikolov, Иван Тодоров|arXiv (Cornell University)|2003. 01. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 전역적으로 콪포르멀 불변 양자장론(QFT)에서 유한 온도 상관 함수가 유한한 스펙트럼을 갖는 콑포르멀 해밀토니안과 분할 함수의 모듈라 성질을 활용하여 이중 주기적인 타원 함수로 표현됨을 밝혀낸다. 핵심 결과는 특히 자유 장의 2점 함수에 대해 열기체 기대값의 모듈라 변환 법칙을 유도하는 것이다.

ABSTRACT

Abstract Global conformal invariance (GCI) of quantum field theory (QFT) in two and higher space–time dimensions implies the Huygens’ principle, and hence, rationality of correlation functions of observable fields [16]. The conformal hamiltonian H ( has discrete spectrum and we assume that the partition function tr D qH) , q = e2πi τ, Im τ> 0 (|q | < 1) as well as the finite temperature expectation values of the field products are well defined in the finite energy space D (an assumption that is verified for free fields). We then demonstrate that the finite temperature expectation values are expressed by (doubly periodic) elliptic functions in appropriate coordinates. We compute examples of 2-point functions of free fields and study the modular transformation properties of the mean value of the energy in an equilibrium state with respect to

연구 동기 및 목표

• 유한 온도 상관 함수의 구조를 전역적으로 콱포르멀 불변 QFT에서 조사한다.
• 장의 곱 기대값이 유한 에너지 공간에서 잘 정의되고 모듈라 불변성을 갖는다는 것을 확립한다.
• 적절한 좌표 매개변수화 하에서 이러한 상관 함수가 이중 주기적인 타원 함수임을 보여준다.
• 열 평형 상태에서 자유 장의 명시적 2점 함수를 계산한다.
• 열 에너지 기대값의 모듈라 변환 성질을 분석한다.

제안 방법

• 이산 스펙트럼을 갖는 콱포르멀 해밀토니안 H를 사용하여 분할 함수를 tr_D(q^H)로 정의한다. 여기서 q = e^{2πiτ} 이고 Im τ > 0 이다.
• 밀도 행렬 ρ = q^H / tr_D(q^H) 를 통해 유한 온도 기대값을 정의하여 유한 에너지 공간 D 내에서 수렴함을 보장한다.
• 상관 함수를 모듈라 매개변수 τ로 표현함으로써 τ에 대해 이중 주기적인 함수(타원 함수)로 이끌어낸다.
• 전역 콱포르멀 불변성에서 유도된 허근의 원리와 유리성 정리들을 적용하여 상관 함수의 함수적 형태를 제약한다.
• 모듈라 매개변수 τ를 사용하여 자유 장의 명시적 2점 함수를 계산하고, SL(2,Z) 모듈라 군에 대한 변환 행동을 분석한다.
• 분할 함수의 모듈라 불변성을 이용하여 열 에너지 기대값의 모듈라 변환 성질을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 스펙트럼을 갖는 전역적으로 콱포르멀 불변 QFT에서 유한 온도 상관 함수는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 장의 곱 기대값은 모듈라 매개변수 τ에 대해 타원 함수로 표현될 수 있는가?
• RQ3 SL(2,Z) 변환 하에서 열 에너지 기대값의 모듈라 변환 행동은 어떠한가?
• RQ4 이 틀 안에서 자유 장의 2점 함수는 유한 온도에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 전역 콱포르멀 불변성은 열 상관 함수의 함수적 형태를 어느 정도 제약하는가?

주요 결과

• 전역적으로 콱포르멀 불변 QFT에서의 유한 온도 상관 함수는 모듈라 매개변수 τ에 대해 이중 주기적인 타원 함수임을 보였다.
• 분할 함수가 수렴한다고 가정할 경우, 장의 곱 기대값은 유한 에너지 공간 D 내에서 잘 정의되어 있다.
• 자유 장의 2점 함수는 명시적으로 계산되었으며, 모듈라 변환에 대해 공변적으로 변환됨을 발견하였다.
• 열 평형 상태에서 에너지의 평균값은 분할 함수의 모듈라 불변성과 일치하는 방식으로 SL(2,Z) 모듈라 군에 의해 변환된다.
• 전역 콱포르멀 불변성 하에서의 상관 함수의 유리성은 유한 온도에서도 유지되며, 기능적 형태는 타원 대칭성에 의해 제약된다.
• 이 틀은 모듈라 매개변수 τ를 통해 유한 온도 QFT와 모듈라 형식 사이의 직접적인 연결을 수립한다.