[논문 리뷰] Finite-Temperature Scrambling of a Random Hamiltonian

Sagar Vijay, Ashvin Vishwanath|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 22.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대규모 N 근사에서 가우시안 유니터리 군에 속하는 해밀토니안을 가진 양자 시스템에 대해 유한 온도에서 시간에 따라 순서가 뒤집힌 상관 함수(OTOC)의 정확한 계산을 제시한다. OTOC는 초기 시각에서 제곱형 증가를 보이며, 시간이 지남에 따라 거듭제곱 법칙으로 감쇠하는 점근적 값으로 수렴한다. 이 감쇠의 지수는 온도와 연산자 유형에 따라 달라진다. 특히 중요한 점은 OTOC가 유니타리성 위반 조건을 만족하는 일관된 스캐러밍 영역를 갖는 것으로 밝혀졌으며, 이는 $ t_c \sim J^{-1} $ 의 시간 스케일에서 효과적인 정보 스캐러밍을 의미한다. 이는 저온에서 스캐러밍 시간 $ t_s $ 와 일치한다.

ABSTRACT

We study the finite-temperature scrambling behavior of a quantum system described by a Hamiltonian chosen from a random matrix ensemble. This effectively (0+1)-dimensional model admits an exact calculation of various ensemble-averaged out-of-time-ordered correlation functions in the large-$N$ limit, where $N$ is the Hilbert space dimension. For a Hamiltonian drawn from the Gaussian unitary ensemble, we calculate the ensemble averaged OTOC at all temperatures. In addition to an early time quadratic growth of the averaged out-of-time-ordered commutator (OTOC), we determine that the OTOC saturates to its asymptotic value as a power-law in time, with an exponent that depends both on temperature, and on one of four classes of operators appearing in the correlation function, that naturally emerge from this calculation. Out-of-time-ordered correlation functions of operators that are distributed around the thermal circle take a time $t_{s}\sim β$ to decay at low temperatures. We generalize these exact results, by demonstrating that out-of-time-ordered correlation functions averaged over any ensemble of Hamiltonians that are invariant under unitary conjugation $H ightarrow {U} H {U}^{\dagger}$, exhibit power-law decay to an asymptotic value. We argue that this late-time behavior is a generic feature of unitary dynamics with energy conservation. Finally, by comparing the OTOC with a commutator-anticommutator correlation function, we examine whether there is a time window over which a typical Hamiltonian behaves as a "coherent scrambler" in the language of Ref. \cite{Kitaev_IAS, Kitaev_Suh}.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 해밀토니안을 가진 양자 시스템의 보편적인 유한 온도 스캐러밍 역학을 이해하기 위해.
• 대규모 N 근사에서 GUE 분포를 가진 해밀토니안에 대해 집합 평균 OTOC를 정확히 계산하기 위해.
• 일반적인 랜덤 해밀토니안이 Kitaev와 Suh의 정의에 따라 '일관된 스캐러버'로 작용하는지, 즉 초기 시각에 산란 행렬의 유니타리성 위반 조건을 만족하는지 확인하기 위해.
• 에너지 보존이 있는 유니터리 동역학에서의 OTOC 는 일반적으로 시간이 지남에 따라 거듭제곱 법칙으로 감쇠하는 특성을 보이며, 이를 임의의 유니터리로 불변인 해밀토니안 집합으로 일반화하기 위해.
• 공동자-반공동자 상관 함수와의 비교를 통해 일관된 스캐러밍 창이 존재하는지 평가하기 위해.

제안 방법

• 연구는 대규모 N 근사에서 해밀토니안을 가우시안 유니터리 군(GUE)에서 샘플링한 (0+1)-차원 모델을 사용하여 정확한 계산이 가능하도록 한다.
• 랜덤 매트릭스 이론 기법을 사용하여 집합 평균 OTOC $ \overline{C_\beta(t)} = \frac{1}{2} \left\langle \left| [V(t), W(0)] \right|^2 \right\rangle_\beta $ 를 계산한다.
• 일관된 스캐러밍 조건 $ |D_\beta(t)| \gg \overline{C_\beta(t)} $ 를 평가하기 위해 $ D_\beta(t) $ 를 정의하고, $ D_\beta(t) = \left\langle W(0)V(t)^2W(0) \right\rangle_\beta $ 를 계산한다.
• 대규모 N 근사에서 $ \overline{D_\beta(t)} $ 와 $ \overline{C_\beta(t)} $ 의 정확한 표현을 유도하며, 수정된 베셀 함수 $ I_1 $ 과 $ I_2 $ 를 포함하고, 그 점근적 행동을 분석한다.
• 연산자의 추적과 곱의 구조에 따라 네 가지의 서로 다른 유형으로 분류하며, 이는 OTOC의 거듭제곱 법칙 감쇠 지수를 결정한다.
• 에너지 보존이 있는 유니터리 동역학에서 거듭제곱 법칙 감쇠가 보편적인 특성임을 입증하며, 이는 임의의 유니터리로 불변인 해밀토니안 집합에 대해 유효하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 해밀토니안의 OTOC는 보편적인 만료 시점 거듭제곱 법칙 감쇠를 보이며, 만약 그렇다면 감쇠 지수는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ2 일반적인 랜덤 해밀토니안은 Kitaev와 Suh의 정의에 따라 초기 시점에서 $ |D_\beta(t)| \gg \overline{C_\beta(t)} $ 를 만족하는 '일관된 스캐러버'로 작용할 수 있는가?
• RQ3 일관된 스캐러밍 시간 $ t_c $ 와 스캐러밍 시간 $ t_s $ 는 어떻게 비교되며, 저온에서 $ J^{-1} $ 의 스케일로 비례하는가?
• RQ4 추적과 곱의 구조에 따라 정의된 네 가지의 서로 다른 연산자 유형은 만료 시점 OTOC 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 OTOC의 거듭제곱 법칙 감쇠가 점근적 값으로 수렴하는 것은 에너지 보존이 있는 유니터리 동역학의 보편적 특성인가, 아니면 랜덤 매트릭스 집합에 특화된 특성인가?

주요 결과

• 모든 온도에서 OTOC는 초기 시점에서 제곱형 증가 $ \overline{C_\beta(t)} \sim J^2 t^2 $ 를 보이며, 이는 빠른 연산자 확산을 나타낸다.
• OTOC는 시간이 지남에 따라 거듭제곱 법칙으로 감쇠하는 점근적 값으로 수렴하며, $ \sim t^{-\alpha} $ 의 형태를 취한다. 이때 지수 $ \alpha $ 는 온도와 연산자 유형에 따라 달라진다.
• 저온에서 이격된, 추적이 0인 연산자에 대해, $ 0 \ll t \ll J^{-1} $ 의 창 안에서 일관된 스캐러밍 조건 $ |D_\beta(t)| \gg \overline{C_\beta(t)} $ 가 만족되며, 이는 효과적인 정보 스캐러밍을 의미한다.
• 이 조건의 시작 시점으로 정의된 일관된 스캐러밍 시간 $ t_c $ 는 스캐러밍 시간 $ t_s \sim J^{-1} $ 과 같은 주기의 크기를 가짐을 발견하여, 저온에서 스캐러밍이 일관되게 일어남을 시사한다.
• 저온에서 열역학 원형에 분포한 연산자에 대한 시간에 따라 순서가 뒤집힌 상관 함수는 $ t_s \sim \beta $ 의 시간 스케일에서 감쇠되며, 이는 감쇠에 열역학적 척도의 시간 스케일이 작용함을 나타낸다.
• 에너지 보존이 있는 유니터리 동역학에서 OTOC가 점근적 값으로 수렴하는 거듭제곱 법칙 감쇠는 보편적인 특성임을 입증하였으며, 이는 랜덤 매트릭스 집합을 넘어서 임의의 유니터리로 불변인 해밀토니안 집합으로 일반화된다.