[논문 리뷰] Finite-time Blowup for the Inviscid Primitive Equations of Oceanic and Atmospheric Dynamics

Chongsheng Cao, Slim Ibrahim외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 27.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 대기 및 해양 역학의 3차원 무점성 기본 방정식의 부드러운 해가 특정 초깃값 클래스에 대해 유한 시간 내에 폭발할 수 있음을 보여준다. 대칭 조건 하에서 시스템을 2차원 모델로 축소하고 명시적 특이 해를 구성함으로써 저자들은 해가 유한 시간 내에 정칙성을 상실함을 증명한다. 이는 점성의 경우 전역 적으로 잘 정의되어 있음에도 불구하고 무점성 시스템의 불안정성을 강조한다.

ABSTRACT

In an earlier work we have shown the global (for all initial data and all time) well-posedness of strong solutions to the three-dimensional viscous primitive equations of large scale oceanic and atmospheric dynamics. In this paper we show that for certain class of initial data the corresponding smooth solutions of the inviscid (non-viscous) primitive equations blow up in finite time. Specifically, we consider the three-dimensional inviscid primitive equations in a three-dimensional infinite horizontal channel, subject to periodic boundary conditions in the horizontal directions, and with no-normal flow boundary conditions on the solid, top and bottom, boundaries. For certain class of initial data we reduce this system into the two-dimensional system of primitive equations in an infinite horizontal strip with the same type of boundary conditions; and then show that for specific sub-class of initial data the corresponding smooth solutions of the reduced inviscid two-dimensional system develop singularities in finite time.

연구 동기 및 목표

• 무점성 기본 방정식이 대규모 해양 및 대기 역학에서 전역 부드러운 해를 갖는지, 또는 유한 시간 내에 특이점을 형성하는지 조사하기.
• 점성이 없는 경우 해가 불안정성과 폭발을 보이게 되는지 확인하기. 이는 점성의 경우 전역적으로 정칙성이 유지됨에도 불구하고.
• 무점성 시스템의 부드러운 해가 유한 시간 내에 특이점에 도달하는 명시적 초깃값을 구성하기.

제안 방법

• 무점성 기본 방정식에 부드러운 해를 가정하고 대칭 조건을 도입하여 3차원 시스템을 2차원 모델로 축소하기.
• 원점에서 수직 속도 성분에 대한 축소된 방정식을 유도하며, 이는 비국소 항을 포함한 비선형 편미분방정식 형태를 띤다.
• 영 딜리클레 경계 조건을 갖는 비선형 상미분방정식의 경계값 문제를 풀어 축소된 방정식에 대한 명시적 폭발 해를 구성하기.
• 에너지 추정과 그론월의 부등식을 사용하여 축소된 방정식의 해의 유일성을 증명하여 폭발이 시스템의 본질적인 성질임을 보장하기.
• 해의 유일성 결과를 적용하여 전체 해가 축소된 시스템의 폭발 행동을 그대로 이어받음을 보여주기.
• 수평 방향에서 삼각함수 모드 형태와 수직 방향에서 프로파일 함수를 갖는 초깃값의 집합을 구성하여 유한 시간 내 폭발을 이끌어내기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특정 초깃값에 대해 3차원 무점성 기본 방정식의 부드러운 해가 유한 시간 내에 특이점을 형성할 수 있는가?
• RQ2 기본 방정식에서 점성이 없는 경우, 점성의 경우 전역적으로 잘 정의되어 있음에도 불구하고 불안정성과 폭발이 발생하는가?
• RQ3 무점성 기본 방정식에서 유한 시간 내 폭발을 유도하는 초깃값의 클래스는 무엇인가?
• RQ4 특이점 형성이 유지되는 조건에서 폭발 행동을 저차원 시스템으로 축소시킬 수 있는가?
• RQ5 폭발 프로파일의 정확한 구조는 무엇이며, 언제 발생하는가?

주요 결과

• 특정 초깃값 클래스에 대해 무점성 기본 방정식의 부드러운 해는 유한 시간 내에 폭발하며, 특히 t = 1일 때 발생한다.
• 폭발은 수직 속도 성분의 정칙성 상실로 인해 발생하며, t가 1에 가까워질수록 1/(1−t) 비례로 증가한다.
• 비선형 상미분방정식을 갖는 영 딜리클레 경계 조건을 가진 명시적 특이 해를 구성함으로써 2차원 시스템으로의 축소를 통해 폭발이 증명된다.
• 에너지 추정과 그론월의 부등식을 통해 축소된 방정식의 해의 유일성이 확립되어 폭발이 비일관성의 결과가 아님을 보장한다.
• 폭발 해는 일차 파arameter 가중치 가족으로 구성되며, 중앙 평면에서 양음 프로파일을 접합하여 부호가 변화하는 해를 형성할 수 있다.
• 코리olis 힘 없이도 결과가 성립하므로, 폭발은 회전 효과가 아닌 비선형 수직 및 이송 항에 의해 유도됨을 시사한다.