[논문 리뷰] Finite-time stabilization in optimal time of homogeneous quasilinear hyperbolic systems in one dimensional space

Hoài-Minh Nguyên, Jean‐Michel Coron|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 04.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 21인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 한쪽 끝에서의 제어와 다른 쪽 끝에서의 비선형 경계 조건을 갖는 1차원에서의 동차 비선형 쌍곡계에 대해 시간에 의존하지 않는 피드백 제어를 제안하며, 최적 시간 내에 유한 시간 안정성을 달성한다. 보조 동역학을 도입하고 특성 방법을 활용하여, 국소적 잘 정의됨을 확립하고, 충분히 작은 초기 자료에 대해 해가 시간 T > T_opt 에서 식별적으로 0이 되며, 비퇴도 조건 ∇B(0) 하에서 최적 제어 시간 T_opt = max{τ_k+1, τ_k + τ_m+1}을 달성함을 증명한다.

ABSTRACT

We consider the finite-time stabilization of homogeneous quasilinear hyperbolic systems with one side controls and with nonlinear boundary condition at the other side. We present time-independent feedbacks leading to the finite-time stabilization in any time larger than the optimal time for the null controllability of the linearized system if the initial condition is sufficiently small. One of the key technical points is to establish the local well-posedness of quasilinear hyperbolic systems with nonlinear, non-local boundary conditions.

연구 동기 및 목표

• 비선형 경계 조건이 있는 비선형 쌍곡계에 대해 최적 시간 T_opt 내에 유한 시간 안정성을 달성하기.
• 비선형이고 국소적이지 않은 경계 조건을 갖는 비선형 쌍곡계의 국소적 잘 정의됨을 확립하기.
• 작은 초기 자료에 대해 임의의 시간 T > T_opt 내에 시스템을 안정화하는 시간에 의존하지 않는 피드백 법칙을 구성하기.
• 주어진 조건 하에서 T_opt 가 더 이상 줄일 수 없음을 보여 최적성을 입증하기.
• 백스텝핑 접근법을 비선형 경계 역학을 갖는 비선형 쌍곡계로 확장하기.

제안 방법

• 원래 시스템에 조건을 직접 적용하지 않고도 x=1에서의 호환성 조건을 만족시키기 위해 보조 동역학(4m개의 추가 상태 변수)을 도입한다.
• 특성 곡선을 사용하여 피드백 법칙을 순차적으로 구성하며, 오른쪽 끝에 있는 변수부터 시작하여 시간 지연을 통해 뒤로 전파한다.
• 특성 방법을 활용하여 경계 상태의 影響를 시간에 따라 거슬러 올라가 추적하여 x=1에서 요구되는 피드백을 결정한다.
• 특성 궤적에 의해 결정된 지점에서의 상태에 의존하는 함수 M_i 를 포함한 비선형 피드백 구조를 사용한다.
• 피드백 변수 ζ_j 와 η_j 를 비선형 감쇠 항을 갖는 미분방정식을 통해 동적 확장하여 부드러움과 수렴성을 보장한다.
• 연속성 추론과 은둔함수 정리를 사용하여 보조 동역학의 초기 조건 존재성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 경계 조건이 있는 비선형 쌍곡계에 대해 최적 시간 내에 유한 시간 안정성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 경계 매핑 B 가 어떤 조건을 만족해야 최적 시간 T_opt 가 시간에 의존하지 않는 피드백을 통해 달성될 수 있는가?
• RQ3 원래 시스템에 직접 적용하지 않고도 x=1에서의 호환성 조건을 어떻게 만족시킬 수 있는가?
• RQ4 보조 동역학은 잘 정의됨과 유한 시간 안정성 달성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 백스텝핑 프레임워크는 국소적이지 않고 비선형적인 경계 조건을 갖는 비선형 쌍곡계로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 T > T_opt 에 대해 충분히 작은 초기 자료를 갖는 한, 시간에 의존하지 않는 피드백 제어가 존재하며, 이는 유한 시간 T 내에 시스템을 안정화한다.
• m ≥ k 일 경우 T_opt = max{τ_k+1, τ_k + τ_m+1} 이고, m < k 일 경우 T_opt = max{τ_k+1−m + τ_k+1, ..., τ_k + τ_k+m} 로 주어진다.
• 피드백 법칙은 잘 정의되어 있으며, 닫힌 루프 시스템의 C1 해를 유도하여 유한 시간 안정성을 보장한다.
• 해가 x=1에서 호환성 조건을 만족시키기 위해 보조 동역학에 의존하며, 원래 상태에 직접 적용하지 않는다.
• ∇B(0) ∈ B 라는 조건 하에, 시간 T > T_opt 에서 정확히 영 상태가 되며, 모든 x ∈ [0,1] 에 대해 w(T, ·) = 0 이다.
• 주어진 가정 하에서 더 작은 시간으로도 안정화가 불가능함을 보여 최적성 T_opt 가 확인된다.