[논문 리뷰] Finite wavelength surface-tension driven instabilities in soft solids

Xuan Chen, John S. Biggins|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 16.

Geomagnetism and Paleomagnetism Studies인용 수 3

한 줄 요약

이 연구는 선형 안정성 분석을 사용하여 연성 고체에서 표면장력에 의해 유도되는 불안정성을 조사하며, 원통형 기하구조에서 유한한 파장 불안정성이 일반적임을 밝혀내고 있다—기존의 무한한 파장 경우와는 정반대이다. 주요 발견은 표면장력에 의한 불안정성의 임계값이 기하구조와 재료 대비에 따라 달라지며, 탄성력과 표면장력이 특정 $\lambda \propto R_0$ 및 $\gamma \propto \mu R_0$ 조건에서 균형을 이루었을 때 유한한 파장이 나타남을 보여준다. 결과적으로 무한한 파장 불안정성은 탄성-표면장력 시스템에서 예외적인 경우이며, 일반적인 경우는 아님을 시사한다.

ABSTRACT

We deploy linear stability analysis to find the threshold wavelength ($\lambda$) and surface tension ($\gamma$) of Rayleigh-Plateau type peristaltic instabilities in incompressible neo-Hookean solids in a range of cylindrical geometries with radius $R_0$. First we consider a solid cylinder, and recover the well-known, infinite wavelength instability for $\gamma\ge6 \mu R_0$, where $\mu$ is the solid's shear modulus. Second, we consider a volume-conserving (e.g. fluid filled) cylindrical cavity through an infinite solid, and demonstrate infinite wavelength instability, but for $\gamma\ge 2 \mu R_0$. Third, we consider a solid cylinder embedded in a different infinite solid, and find a finite wavelength instability with $\lambda\propto R_0$, at surface tension $\gamma \propto \mu R_0$, where the constants depend on the two solids' modulus ratio. Finally, we consider an empty cylindrical cavity through an infinite solid, and find an instability with finite wavelength, $\lambda \approx2 R_0$, for $\gamma\ge 2.543... \mu R_0$. We argue that such finite wavelengths are generic for elasto-capillary instabilities, with the simple cylinder's infinite wavelength being the exception rather than the rule.

연구 동기 및 목표

• 연성 불가압성 뉴-후크 고체에서 표면장력에 의해 유도되는 불안정성이 발생하는 조건을 이해하는 것.
• 기존의 고전적인 무한한 파장 경우를 초월하여 다양한 원통형 기하구조에서 유한한 파장 불안정성이 발생하는지 확인하는 것.
• 고체 실린더, 구멍, 그리고 내장된 고체를 포함한 다양한 구성에서 불안정성의 임계 표면장력과 임계 파장을 정량화하는 것.
• 재료 대비와 기하구조가 연성 탄성 재료에서 불안정성 특성에 미치는 영향을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 기하학적 비틀림에 의한 레일리-플라우드 유형의 불안정성을 모델링하기 위해 선형 안정성 분석을 기초로 한 불가압성 뉴-후크 고체에 적용한다.
• 네 가지 다른 기하구조를 고려한다: 고체 실린더, 유한한 고체 내부에 있는 유체로 채워진 원통형 구멍, 다른 유한한 고체 내부에 내장된 고체 실린더, 그리고 유한한 고체 내부에 빈 원통형 구멍.
• 선형화된 탄성 및 표면장력 방정식에서 유도된 고유값 문제를 풀어 소규모 변형의 안정성을 평가한다.
• 각 기하구조에 대해 유도된 분산 관계를 풀어 임계 표면장력 $\gamma$와 임계 파장 $\lambda$를 결정한다.
• 불가압성 조건을 고려하고, 재료의 핵심 매개변수로 전단 모odulus $\mu$를 사용한다.
• 파장 $\lambda$와 표면장력 $\gamma$가 반지름 $R_0$과 재료 간의 모odulus 비율에 따라 어떻게 변화하는지 체계적으로 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고체 실린더의 경우 불안정성의 임계 표면장력 $\gamma$는 얼마이며, 이는 무한한 파장 모드를 지닌다 할 수 있는가?
• RQ2 무한한 고체 내부에 있는 유체로 채워진 원통형 구멍이 존재할 경우, 불안정성의 임계값과 파장은 어떻게 영향을 받는가?
• RQ3 다른 유한한 고체 내부에 내장된 고체 실린더에서 유한한 파장 불안정성이 나타나는 원리는 무엇인가?
• RQ4 무한한 고체 내부에 빈 원통형 구멍이 존재할 경우, 이는 유한한 파장 불안정성을 보이는가? 만약 그렇다면 임계 $\gamma$와 $\lambda$는 얼마인가?
• RQ5 무한한 파장 불안정성은 일반적인 결과인가, 아니면 특정 기하구조에 국한된 결과인가?

주요 결과

• 고체 실린더의 경우, 불안정성 임계값은 $\gamma \geq 6\mu R_0$이며, 이는 고전적 결과와 일치하는 무한한 파장과 함께 나타난다.
• 무한한 고체 내부에 있는 유체로 채워진 원통형 구멍의 경우, 불안정성 임계값은 $\gamma \geq 2\mu R_0$이며, 이 또한 무한한 파장을 지닌다.
• 다른 유한한 고체 내부에 내장된 고체 실린더의 경우, $\lambda \propto R_0$ 및 $\gamma \propto \mu R_0$ 조건에서 유한한 파장 불안정성이 나타나며, 비례 상수는 모odulus 비율에 따라 달라진다.
• 무한한 고체 내부에 빈 원통형 구멍의 경우, 불안정성은 유한한 파장 $\lambda \approx 2R_0$과 임계값 $\gamma \geq 2.543...\mu R_0$를 지닌다. 이는 기하학적 및 탄성적 비선형 의존성을 나타낸다.
• 이 연구는 탄성-표면장력 시스템에서 유한한 파장 불안정성이 일반적임을 결론 내리며, 무한한 파장 불안정성은 예외적인 경우이며 일반적인 규칙은 아님을 시사한다.