[논문 리뷰] Finitely generated subgroups of lattices in PSL(2,C)

Yair Glasner, Juan Souto외 1명|ArXiv.org|2005. 04. 21.

semigroups and automata theory참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 PSL(2,ℂ)의 격자에서 유한 생성된 부분군이 프로정규 위상에서 닫혀 있음을 증명한다. 이 위상은 비자명한 정규부분군의 잔여류를 기저로 삼는, 프로유한 위상보다 더 빡빡한 위상이다. 핵심 결과는 이러한 부분군이 닫혀 있을 뿐 아니라, 무한 지수일 경우에 그보다 стрictly 더 큰 열린 부분군들의 교차임을 보여주며, 이로부터 최대 부분군이나 무한 지수의 프로稠밀 부분군이 유한 생성일 수 없다는 결과가 유도된다.

ABSTRACT

Let G be a lattice in PSL(2,C). The pro-normal topology on G is defined by taking all cosets of non-trivial normal subgroups as a basis. This topology is finer than the pro-finite topology, but it is not discrete. We prove that every finitely generated subgroup H

연구 동기 및 목표

• PSL(2,ℂ) 격자 내에서 유한 생성 부분군의 위상적 닫힘 성질을 조사한다.
• 비자명한 정규부분군을 기저로 삼아 이러한 격자 위에 프로정규 위상을 정의하고 분석한다.
• 모든 유한 생성 부분군이 이 위상에서 닫혀 있음을 증명하며, 기존의 프로유한 위상 결과를 확장한다.
• PSL(2,ℂ) 격자에서 최대 또는 프로稠밀 부분군의 유한 생성성에 관한 추측 문제를 해결한다.

제안 방법

• 비자명한 정규부분군의 전체 집합을 기저로 삼아 PSL(2,ℂ)의 격자 Γ에 대해 프로정규 위상을 정의한다.
• 최근 해결된 마르던 추측을 활용하여 부분군의 기하적 구조를 분석하며, 특히 기하학적으로 유한한 부분군과 무한한 부분군을 구분한다.
• 무한 지수의 기하학적으로 유한한 부분군 Δ에 대해, 유일 인수분해와 잔여 유한성의 성질을 이용해 모순을 통해 Δ = ∩{ΔN | N ◁ Γ, N ⊄ Δ} 를 증명한다.
• 기하학적으로 무한한 부분군의 경우, 유한 지수의 정규부분군을 통한 몫으로 문제를 축소하고, 잔여 유한군의 프로유한 위상에서 유한 부분군이 닫혀 있음을 이용한다.
• 정규부분군을 특성부분군으로 선택할 수 있음을 보여 프로정규 위상 이외에도 더 낮은 위상인 프로특성 위상에서도 결과가 성립함을 보인다.
• PSL(2,ℂ)의 격자의 선형성과 조약형 밀도를 활용하여, 정규부분군이 자명하게만 교차할 경우 조약형 닫힘에서의 가환성으로부터 모순을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PSL(2,ℂ) 격자의 유한 생성 부분군은 프로정규 위상에서 항상 닫혀 있는가?
• RQ2 PSL(2,ℂ) 격자에서 무한 지수의 최대 부분군이 유한 생성될 수 있는가?
• RQ3 PSL(2,ℂ) 격자의 프로稠밀 부분군(프로정규 위상에서 조밀한 부분군)이 유한 생성될 수 있는가?
• RQ4 이러한 격자에서 프로정규 위상은 무한 지수 부분군에 대해 프로유한 위상보다 더 강한 닫힘 성질을 제공하는가?
• RQ5 유한 생성 부분군이 프로정규 위상에서 닫혀 있는지, 그리고 그것이 그보다 더 큰 열린 부분군들의 교차로 표현되는가?

주요 결과

• PSL(2,ℂ)의 격자 Γ에서 유한 생성 부분군 Δ < Γ 는 프로정규 위상에서 닫혀 있다.
• Δ 가 Γ 에서 무한 지수일 경우, Δ 는 그보다 더 큰 열린 부분군들의 교차이다.
• 이러한 격자에서 무한 지수의 최대 부분군은 유한 생성될 수 없다.
• PSL(2,ℂ) 격자의 프로稠밀 부분군은 유한 생성될 수 없다.
• 결과는 프로정규 위상 외에도 더 낮은 위상인 프로특성 위상에서도 성립한다.
• 증명은 마르던 추측의 해결과 하이퍼볼릭 3-오비폴드 및 그 기본군의 기하학적·대수적 구조에 기반한다.