[논문 리뷰] First cohomology of pure mapping class groups of big genus one and zero surfaces

George Domat, Paul Plummer|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 23.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한형 표면이 아닌 무한형 종수 1 표면의 순 순열 매핑 클래스 군의 첫 번째 정수 코homology가 자명하다는 것을 증명한다. 반면 종수 0 표면의 경우, 유한형 표면으로의 사영 사상에 의해 인자되지 않는 ℤ로의 비가환 무한가지의 준동형사상들을 구성한다 — 이는 모든 코homology 계열이 유한형 부분표면에서 유래하지는 않음을 보여준다.

ABSTRACT

We prove that the first integral cohomology of pure mapping class groups of infinite type genus one surfaces is trivial. For genus zero surfaces we prove that not every homomorphism to $\mathbb{Z}$ factors through a sphere with finitely many punctures. In fact we get an uncountable family of such maps.

연구 동기 및 목표

• 무한형 종수 1 표면의 순 매핑 클래스 군의 첫 번째 정수 코homology의 구조를 규명하는 것.
• 이 군들에서 ℤ로의 모든 준동형사상들이 특히 유한 개의 구멍이 있는 구면으로의 유한형 부분표면으로의 사영에 의해 인자되는지 조사하는 것.
• 유한형 구조에서 유래하지 않는 코homology 계열의 구체적인 예를 종수 0의 경우에 구성하는 것.
• 종수 0 표면의 경우에 대해 첫 번째 코homology의 그림을 완성하여, 큰 순 매핑 클래스 군의 전체 구조를 밝혀내는 것.

제안 방법

• 종수 1 표면의 유한형 고갈 수열의 호모로지 분석을 위해 Gervais의 별 표현을 사용한다.
• APV17와 D61의 연속성 결과를 적용하여, ℤ로의 비자명한 준동형사상은 반드시 연속적이어야 하며, 이는 발산하는 이미지 수열을 통해 모순을 이끌어낸다.
• 플루트 표면에서 특정 곡선 γ_ai 및 γ_bi에 대한 디한 변환에 비영인 값을 할당하여 특별한 준동형사상 φ를 구성한다.
• Lemma 4.1을 사용하여, 닫힘에 속하는 원소들이 무한한 디한 변환의 곱으로서 기술됨을 보여, 준동형사상이 전체 순 매핑 클래스 군으로 연속적으로 확장됨을 보인다.
• 구성된 준동형사상이 어떤 유한형 표면으로의 忘却 사영에도 의해 인자되지 않음을 보이며, 어떤 구멍이라도 제거하면 핵심 디한 변환의 이미지가 자명해지기 때문이다.
• 양의 정수 집합의 무한 차원 여집합으로 인덱싱된, 비가환 무한가지의 이러한 준동형사상으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한형 종수 1 표면의 순 매핑 클래스 군의 첫 번째 정수 코homology는 자명한가?
• RQ2 무한형 종수 0 표면의 순 매핑 클래스 군에서 ℤ로의 모든 준동형사상은 유한형 구멍이 있는 구면으로의 사영에 의해 인자되는가?
• RQ3 유한형 부분표면에서 유래하지 않는, 명시적이고 비자명한 코homology 계열을 종수 0의 경우에 구성할 수 있는가?
• RQ4 표면이 종수 0이고 무한히 많은 구멍을 가질 경우, 큰 순 매핑 클래스 군의 첫 번째 코homology 군의 구조는 무엇인가?
• RQ5 무한형 표면의 코homology 계열은 그 유한형 부분표면과 몫에 대한 계열과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 무한형 종수 1 표면의 순 매핑 클래스 군의 첫 번째 정수 코homology는 자명하다: H¹(PMCG(S);ℤ) = 0.
• 종수 0 표면의 경우, PMCG(S)에서 ℤ로의 준동형사상이 존재하며, 이는 어떤 유한형 구면으로의 忘却 사영에도 의해 인자되지 않는다.
• 무한차원 여집합으로 인덱싱된, 이러한 인자되지 않는 준동형사상의 비가환 무한가지 가닥이 존재한다.
• 구성된 준동형사상은 전체 순 매핑 클래스 군에서 연속적이고 잘 정의되어 있으며, 컴actsupport된 원소들로부터 디한 변환의 무한곱을 통해 확장된다.
• 유한형 표면으로의 인자화를 방해하는 핵심 요소는, 어떤 구멍이라도 제거하면 특정 디한 변환의 이미지가 자명해지지만, 이 준동형사상에서의 이미지는 비자명하다는 것이다.
• 결과적으로 첫 번째 코homology의 분류가 완성되었으며, 종수 0이 비자명한 유한형 부분표면에 의해 지지되지 않는 코homology를 가진 유일한 경우임을 밝혀냈다.