[논문 리뷰] First exit-time analysis for an approximate Barndorff-Nielsen and Shephard model with stationary self-decomposable variance process

Shantanu Awasthi, Indranil SenGupta|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동과 정적이고 자기분해 가능한 분산 과정을 갖는 레비 서브도리너에 의해 구동되는 근사 바른도르프-니엘슨 및 셰퍼드(BN-S) 모델의 최초 퇴출 시간에 대한 분석적 프레임워크를 제안한다. 최초 퇴출 시간을 브라운 운동과 서브도리너의 성분으로 분해함으로써, 저자들은 라플라스 변환과 특수 함수를 사용하여 명시적인 확률 밀도 함수를 유도한다. 이는 S&P 500 데이터에 의해 검증되었으며, 시장 붕괴 기간 동안 서브도리너 역학이 지배하는 반면 안정된 기간에는 브라운 운동이 지배함을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, an approximate version of the Barndorff-Nielsen and Shephard model, driven by a Brownian motion and a L\'evy subordinator, is formulated. The first-exit time of the log-return process for this model is analyzed. It is shown that with certain probability, the first-exit time process of the log-return is decomposable into the sum of the first exit time of the Brownian motion with drift, and the first exit time of a L\'evy subordinator with drift. Subsequently, the probability density functions of the first exit time of some specific L\'evy subordinators, connected to stationary, self-decomposable variance processes, are studied. Analytical expressions of the probability density function of the first-exit time of three such L\'evy subordinators are obtained in terms of various special functions. The results are implemented to empirical S&P 500 dataset.

연구 동기 및 목표

• 스토케스틱 볼라티리티 프레임워크 내에서 로그 수익률의 최초 퇴출 시간을 분석적으로 다룰 수 있는 모델을 개발하기 위해.
• 근사 BN-S 모델의 최초 퇴출 시간을 브라운 운동과 드리프트를 갖는 레비 서브도리너의 기여로 분해하기 위해.
• 특수 함수를 사용하여 특정 자기분해 가능한 레비 서브도리너의 최초 퇴출 시간에 대한 명시적인 확률 밀도 함수를 도출하기 위해.
• 실제 S&P 500 일간 수익률 데이터를 사용하여 이론적 프레임워크를 검증하기 위해.
• 최초 퇴출 시간에 대한 확산 및 점프 성분의 상대 기여를 분석함으로써 시장 붕괴 역학에 대한 통찰을 제공하기 위해.

제안 방법

• 브라운 운동과 정적이고 자기분해 가능한 분산 과정을 갖는 레비 서브도리너에 의해 구동되는 근사 BN-S 모델을 수립하기 위해.
• 분해 성질을 활용하여 로그 수익률 과정의 최초 퇴출 시간을 브라운 운동과 서브도리너의 최초 퇴출 시간의 합으로 표현하기 위해.
• 라플라스 변환 및 역라플라스 변환 기법을 적용하여 최초 퇴출 시간의 확률 밀도 함수를 유도하기 위해.
• 불완전 감마 함수와 일반화된 하이퍼기하함수를 포함한 특수 함수에 대한 기존 결과를 활용하여 밀도 함수를 명시적으로 표현하기 위해.
• 복잡한 거듭제곱 함수와 감마 함수를 포함한 표현식의 역라플라스 변환을 처리하기 위해 레마 4.2와 레마 4.1을 활용하기 위해.
• 모델 파라미터를 실질적 S&P 500 데이터에 캘리브레이션하고, 수치 히스토GRAM 및 확률 밀도도를 통해 이론적 밀도 함수를 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 근사 BN-S 모델 내 로그 수익률 과정의 최초 퇴출 시간은 브라운 운동과 레비 서브도리너의 기여로 분해될 수 있는가?
• RQ2 자기분해 가능한 레비 서브도리너의 최초 퇴출 시간에 대한 명시적인 해석적 형태의 확률 밀도 함수는 무엇인가?
• RQ3 시장 안정성 기간과 변동성 기간 동안 브라운 운동 및 서브도리너 성분의 역학은 최초 퇴출 시간 분포에 어떻게 다르게 기여하는가?
• RQ4 유도된 해석적 표현식은 실재 금융 데이터, 예를 들어 S&P 500 지수와 같이 효과적으로 캘리브레이션되고 검증될 수 있는가?
• RQ5 시장 붕괴 유사 사건 기간 동안 서브도리너 성분은 최초 퇴출 시간 분포에서 어느 정도 지배적인가?

주요 결과

• 근사 BN-S 모델 내 로그 수익률 과정의 최초 퇴출 시간은 드리프트를 갖는 브라운 운동과 드리프트를 갖는 레비 서브도리너의 최초 퇴출 시간의 합으로 분해된다.
• 특수 함수를 사용하여 불완전 감마 함수와 일반화된 하이퍼기하함수를 포함한 세 가지 특정 자기분해 가능한 레비 서브도리너에 대해 최초 퇴출 시간의 명시적 확률 밀도 함수가 도출되었다.
• S&P 500 데이터셋에 대해, 저변동성 기간 동안 브라운 운동 성분이 최초 퇴출 시간 분포를 지배하는 반면, 고변동성 또는 붕괴 유사 움직임 기간에는 서브도리너 성분이 지배적이게 된다.
• 실제 데이터를 사용한 수치 결과는 이론적 분해를 확인하였으며, 최초 퇴출 시간의 히스토GRAM이 모델의 예측 밀도 함수와 일치함을 보였다.
• t = 1, 2, 3, 4에 대한 확률 밀도 함수의 그림을 통해 도출된 해석적 표현식이 이론적 예측과 실질적 패턴 간 강한 일치를 보였으며, 검증되었다.
• 본 연구는 특히 극단적 시장 사건을 모델링하는 데 있어 서브도리너 성분을 통한 장기적 의존성을 통합함으로써 기존 스토케스틱 볼라티리티 모델의 개선 기반을 제공한다.