[논문 리뷰] First order formalism of holographic Wilsonian renormalization group: Langevin equation

Jae-Hyuk Oh|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 11.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아드스₆ 공간 내의 상호작용하는 스칼라 이론에서 랑주뱅 방정식을 통한 확률적 양자화와 아드스 공간 내 헬로그래픽 윌리엄슨 양자군 흐름 사이의 정확한 수학적 사상 관계를 확립한다. 이는 확률적 3점 함수가 확률적 시간 t를 반경 좌표 r로 식별할 경우, 동일한 스케일 흐름 하에서 헬로그래픽 삼중 흔적 연산자 진화를 정확히 재현함을 보여준다. 핵심 결과는 t = r일 때 연결된 확률적 3점 함수와 헬로그래픽 삼중 흔적 연산자 간의 정확한 일치이다.

ABSTRACT

We study a mathematical relationship between holographic Wilsonian renormalization group and stochastic quantization framework. We extend the original proposal given in arXiv:1209.2242 to interacting theories. The original proposal suggests that fictitious time(or stochastic time) evolution of stochastic 2-point correlation function will be identical to the radial evolution of the double trace operator of certain classes of holographic models, which are free theories in AdS space. We study holographic gravity models with interactions in AdS space and establish a map between the holographic renormalization flow of multi-trace operators and stochastic $n$-point functions. To give precise examples, we extensively study conformally coupled scalar theory in AdS$_6$. What we have found is that the stochastic time $t$ dependent 3-point function obtained from Langevin equation with its Euclidean action being given by $S_E=2I_{os}$ is identical to holographic renormalization group evolution of holographic triple trace operator as its energy scale $r$ changes once an identification of $t=r$ is made. $I_{os}$ is the on-shell action of holographic model of conformally coupled scalar theory at the AdS boundary. We argue that this can be fully extended to mathematical relationship between multi point functions and multi trace operators in each framework.

연구 동기 및 목표

• . 상호작용하는 아드스 이론에서 확률적 양자화와 헬로그래픽 윌리엄슨 양자군 흐름 사이의 수학적 대응관계 수립.
• . 자유 이론에서부터 상호작용 이론으로까지 확률적 시간 진동과 반경 방향 윌리엄슨 양자군 흐름 간의 원래 제안을 확장.
• . 랑주앙 프레임워크 내에서의 확률적 n점 함수가 헬로그래픽 윌리엄슨 양자군에서의 다중 흔적 연산자로 정확히 대응됨을 보여줌.
• . 아드스₆ 내의 등각적으로 결합된 스칼라 이론의 경우에 이 이중성의 구체적이고 정량적인 검증 제공.
• . t = r 식별 조건 하에서 확률적 3점 함수와 헬로그래픽 삼중 흔적 연산자 간의 동치성 확인.

제안 방법

• . 다중 흔적 연산자에 대해 해밀토니안-자코비 방정식과 그 해를 도출하기 위해 헬로그래픽 이론에 대해 일阶 형식을 사용.
• . 등각적으로 결합된 스칼라 이론의 온쉘프 행동 Ios를 사용하여 유클리드 행동 SE = 2Ios를 적용한 확률적 양자화 프레임워크를 적용.
• . 백색 가우시안 노이즈 η(x,t)를 갖는 필드 연산자 fp(t)에 대한 랑주앙 방정식을 풀고, 경로 적분 방법을 통해 확률적 상관 함수를 유도.
• . 랑주앙 방정식의 해와 가우시안 노이즈 상관관계를 사용하여, 결합 상수 λ에 대한 섭동 이론을 통해 1차 항까지의 확률적 3점 함수를 계산.
• . 결과로 얻어진 확률적 3점 함수를 t = r 식별 조건 하에서 윌리엄슨 양자군 흐름으로부터 유도된 헬로그래픽 삼중 흔적 연산자와 비교.
• . 정확한 가우시안 적분 기법과 델타 함수 제약 조건을 사용하여 상관 함수를 평가하고 연결된 부분과 비연결된 부분을 추출.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 랑주앙 프레임워크 내에서 n점 함수의 확률적 시간 진동이 헬로그래픽 윌리엄슨 양자군의 반경 방향 진동과 정확히 일치하는가?
• RQ2 . 자유 이론에서부터 상호작용 이론으로까지 확률적 양자화와 헬로그래픽 윌리엄슨 양자군 간의 사상 관계를 확장할 수 있는가?
• RQ3 . 아드스₆에서 확률적 3점 함수와 헬로그래픽 삼중 흔적 연산자 간에 정확한 수학적 동치성이 존재하는가?
• RQ4 . 헬로그래픽 맥락에서 확률적 시간 t는 반경 좌표 r과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 . 확률적 3점 함수의 비연결(타도플) 부분과 연결된 부분은 헬로그래픽 삼중 흔적 연산자의 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• . SE = 2Ios 조건 하에서 랑주앙 방정식을 통해 계산된 확률적 3점 함수는 t = r 식별 조건 하에서 헬로그래픽 삼중 흔적 연산자 진동과 정확히 일치한다.
• . 확률적 3점 함수의 연결된 부분은 반경 시간 t와 운동량에 의존하는 감쇠율 Gpi₂ = |pi|를 포함하는 쌍곡함수의 단순한 표현식으로 주어진다.
• . 비연결(타도플) 기여는 자기에너지 보정에서 기인하며, δ(5)(p3)δ(5)(p1 + p2) 비례하여, 상호작용 존재 시 비영인 진공 기대값을 반영한다.
• . 통합 상수를 하한 적분 한계 τ = θ로 설정할 경우, 전체 확률적 3점 함수는 t = r일 때 헬로그래픽 삼중 흔적 연산자 표현식 (3.44)와 정확히 일치한다.
• . sinh 함수에 대한 항등식 (5.119)는 확률적 결과의 함수 형태가 헬로그래픽 연산자 표현식과 일치하도록 하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• . 정확한 일치는 상수 항 −1 + Σj (Σl Gpl₂ / (Σm Gpm₂ − 2Gpj₂))까지 포함되어 있으며, 이는 헬로그래픽 해의 정적 적분 하한 한계 θ에 의해 재현된다 (식 (5.120)).