[논문 리뷰] First-order Logic: Modality and Intensionality

Zoran Majkić|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 03.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 첫째로, 표준 Tarskian 의미론을 유지하면서 내재성(인텐셔널리티)을 통합하는 두 단계의 인텐셔널 해석을 사용하여, 첫 번째 순서 논리(FOL)에 성질, 관계, 문장(이하 PRP)을 도메인에 통합함으로써 최소한의 인텐셔널 확장(Enrichment)을 제안한다. 주요 기여는 FOL 문법과 인텐셔널 개념, 그리고 외연적 관계 대수 사이를 연결하는 가환성(Commutative) 호모모르피즘 다이어그램을 제시하는 것으로, 이는 Tarskian 진리가 더 넓은 Frege-Russell 인텐셔널 의미론의 특수한 경우임을 보여준다.

ABSTRACT

Contemporary use of the term 'intension' derives from the traditional logical Frege-Russell's doctrine that an idea (logic formula) has both an extension and an intension. From the Montague's point of view, the meaning of an idea can be considered as particular extensions in different possible worlds. In this paper we analyze the minimal intensional semantic enrichment of the syntax of the FOL language, by unification of different views: Tarskian extensional semantics of the FOL, modal interpretation of quantifiers, and a derivation of the Tarskian theory of truth from unified semantic theory based on a single meaning relation. We show that not all modal predicate logics are intensional, and that an equivalent modal Kripke's interpretation of logic quantifiers in FOL results in a particular pure extensional modal predicate logic (as is the standard Tarskian semantics of the FOL). This minimal intensional enrichment is obtained by adopting the theory of properties, relations and propositions (PRP) as the universe or domain of the FOL, composed by particulars and universals (or concepts), with the two-step interpretation of the FOL that eliminates the weak points of the Montague's intensional semantics. Differently from the Bealer's intensional FOL, we show that it is not necessary the introduction of the intensional abstraction in order to obtain the full intensional properties of the FOL. Final result of this paper is represented by the commutative homomorphic diagram that holds in each given possible world of this new intensional FOL, from the free algebra of the FOL syntax, toward its intensional algebra of concepts, and, successively, to the new extensional relational algebra (different from Cylindric algebras), and we show that it corresponds to the Tarski's interpretation of the standard extensional FOL in this possible world.

연구 동기 및 목표

• Tarskian 의미론이 진리값을 넘어서 의미를 포착하지 못하는 한계를 해결하기 위해, 자연어 및 지능형 정보 시스템에서의 의미 포착을 목표로 한다.
• 모달 술어 논리와 인텐셔널 논리 간의 차이를 명확히 하여, 모든 모달 논리가 인텐셔널이 아니라는 점을 보여준다.
• 표준 문법을 유지하면서도 인텐셔널 추상화를 요구하지 않고도 전체적인 인텐셔널 성질을 도입할 수 있는 최소한의 문법적 확장을 개발한다.
• Montague의 가능한 세계 의미론과 Tarskian 진리 이론을 PRP 이론에 기반한 두 단계의 해석을 통해 통합한다.
• 인텐셔널 논리가 외연적 논리를 대체하는 것이 아니라 일반화하는 형식적 프레임워크를 구축하여, 의미 웹과 P2P 데이터베이스 등에의 적용 가능성을 확보한다.

제안 방법

• 두 단계의 인텐셔널 해석을 채택한다: 첫째, FOL 문법을 인텐셔널 개념(PRPs)으로 매핑하고, 둘째, 이를 외연적 관계 대수로 매핑하는 외연화 함수를 통해 매핑한다.
• FOL의 도메인을 개별적 사물과 일반적 사물(즉, PRPs)의 철학적 도메인으로 정의하여, 기존의 집합론적 도메인을 성질, 관계, 문장의 개념적 도메인으로 대체한다.
• Montague 스타일의 인텐셔널 의미론을 사용하여, 공식의 인텐셔널 의미는 가능한 세계(가정 Γ 하의 Tarskian 모델)에서의 외연적 의미로 가는 함수로 정의한다.
• 인텐셔널 대수와 기존의 시린드릭 대수와는 다를 새로운 외연적 관계 대수를 구성하여, 인텐셔널 FOL의 논리적 구조를 모델링한다.
• FOL 문법의 자유 대수와 인텐셔널 개념의 대수, 그리고 외연적 대수 사이에 가환성 호모모르피즘 다이어그램(보조정리 3)을 구축하여, 각 가능한 세계에서 Tarskian 진리가 일관성을 유지함을 보장한다.
• Kripke 스타일의 모달 FOL에서 양화자를 모달 연산자로 간주할 경우, 이는 표준 FOL과 동치이며 순수한 외연적 논리임을 증명한다. 따라서 자체적으로는 인텐셔널이 아니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 모달 술어 논리가 실제로 인텐셔널이며, 순수한 외연적 모달 논리와 무엇이 다른가?
• RQ2 문법을 변경하거나 인텐셔널 추상화를 도입하지 않고도 FOL에 최소한의 인텐셔널 확장을 달성할 수 있는가?
• RQ3 Frege-Russell 의미론에 기반한 통합된 인텐셔널 프레임워크 내에서 Tarskian 진리 의미론을 어떻게 공식적으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 가정 Γ 하에서 가능한 세계가 FOL의 모델로 작용할 때, 이는 어떻게 인텐셔널 의미를 정의하는 데 기여하는가?
• RQ5 인텐셔널 FOL에서 표준 FOL로의 변환은 가능한가? 이는 인텐셔널 의미론의 논리적 강도에 대해 무엇을 시사하는가?

주요 결과

• 모든 모달 술어 논리가 인텐셔널인 것은 아니며, 진정으로 인텐셔널 행동을 보이는 것은 엄격한 부분집합—즉, 적절한 인텐셔널 해석을 갖춘 논리—에 국한된다.
• 양화자를 모달 연산자로 간주하는 Kripke 스타일의 모달 FOL은 표준 Tarskian FOL과 동치이며, 따라서 순수한 외연적 논리이지 인텐셔널이 아니다.
• 모달 FOL K를 표준 FOL로 변환할 경우, 가능한 세계가 할당에 의존하는 기능적 의존성 때문에 두 번째 순서 공식이 생성되며, 이는 논리적으로 더 강력한 구조가 된다.
• PRP 이론을 도메인으로 채택하고 두 단계의 해석을 사용함으로써, 인텐셔널 추상화를 요구하지 않고도 FOL의 최소한의 인텐셔널 확장이 달성된다.
• 새로운 인텐셔널 FOL(FOL I)의 전역 논리적 추론 관계는 표준 Tarskian 함의 관계와 정확히 동일하여 논리적 강도가 유지된다.
• FOL 문법의 자유 대수, 인텐셔널 개념의 대수, 외연적 관계 대수 사이에 가환성 호모모르피즘 다이어그램(보조정리 3)이 확립되었으며, 이는 Tarskian 진리가 더 넓은 인텐셔널 의미론의 세계별 특수한 경우임을 보여준다.