[논문 리뷰] First-order quantum perturbation theory and Colombeau generalized functions

André Gsponer|ArXiv.org|2008. 09. 15.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 표준 분포 이론에서 수학적으로 정의되지 않은 연산인 딜라 함수의 제곱을 엄밀하게 정의하기 위해 콜롬베아 일반화된 함수를 사용하여 일阶 양자 섭동 이론을 재구성한다. 에너지 보존을 위한 델타 함수를 콜롬베아 대수 내의 부드러운 대표자로 표현함으로써, 저자들은 전이 진폭과 그 제곱(확률)이 잘 정의됨을 보이며, 페르미의 금색 규칙과 같은 임의의 규칙에 의존하지 않고 루더퍼드 산산각을 유도한다.

ABSTRACT

The electromagnetic scattering of a spin-0 charged particle off a fixed center is calculated in first-order quantum perturbation theory. This implies evaluating the square of a `Dirac delta-function,' an operation that is not defined in Schwartz distribution theory, and which in elementary text-books is dealt with according to `Fermi's golden rule.' In this paper these conventional calculations are carefully reviewed, and their crucial parts reformulated in a Colombeau algebra -- in which the product of distributions is mathematically well defined. The conclusions are: (1) The Dirac delta-function insuring energy conservation in first order perturbation theory belongs to a particular subset of representatives of the Schwartz distribution defined by the Dirac measure. These particular representatives have a well-defined square, and lead to a physically meaningful result in agreement with the data. (2) A truly consistent mathematical interpretation of these representatives is provided by their redefinition as Colombeau generalized functions. This implies that their square, and therefore the quantum mechanical rule leading from amplitudes to probabilities, is rigorously defined.

연구 동기 및 목표

• 전이 확률 계산에서 나타나는 델타 함수의 제곱이 수학적으로 정의되지 않는 문제를 해결하기 위해.
• 콜롬베아 일반화된 함수를 사용하여 일阶 시간에 의존하는 섭동 이론을 재구성하여 분포의 곱을 위한 수학적으로 엄밀한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 델타 함수의 제곱을 다루기 위해 일반적으로 사용되는 페르미의 금색 규칙이 수학적으로 정당화되지 않은 임의의 방법임을 보여주기 위해.
• 물리적으로 의미 있는 결과—예를 들어 루더퍼드 산산각—이 일관된 일반화된 함수 프레임워크에서 유도될 수 있음을 보여주기 위해.
• 평면파 상태의 물리적 내용을 유지하면서도 분포의 곱을 잘 정의할 수 있도록 하는 콜롬베아 대수 내의 특정 종류의 모리파이어를 식별하기 위해.

제안 방법

• 전이 진폭의 시간 적분에서 정의되지 않는 딜라 함수를 부드러운 감쇠 함수 $\widehat{\rho}$ 에서 유도된 정규화된 모리파이어 $\rho_{\epsilon}(E)$ 로 대체한다.
• 전이 진폭을 $S_{fi} = 2\pi \frac{Ze^2}{V} \frac{1}{\sqrt{E_f E_i}} \frac{1}{q^2} \rho_{\epsilon}(E_f - E_i)$ 로 정의하며, 여기서 $\rho_{\epsilon}$ 는 콜롬베아 대수 내의 델타 측도의 대표자이다.
• 일반화된 함수 진폭에 표준 양자역학적 규칙 $W_{fi} = |S_{fi}|^2$ 를 적용함으로써, 콜롬베아 프레임워크 내에서 제곱이 수학적으로 잘 정의됨을 보장한다.
• 유도된 조건을 만족시키는 모리파이어 $\rho$ 를 위해 조건을 도입하여, 결과로 얻어진 일반화된 함수가 루더퍼드 산산각을 재현함을 보장한다: $\int \rho(z) dz = 1$, $\int z^n \rho(z) dz = 0$ for $n=1,\dots,q$, 및 $\rho(0) = \frac{1}{\pi}$.
• 역 푸리에 변환을 통해, 무한 평면파 근사로 점점 수렴하는 부드러운 웨이브 패킷 상태의 집합을 구성한다.
• 모리파이어가 유도된 조건을 만족할 경우, $T \to \infty$ (즉, $\epsilon \to 0$) 의 극한이 물리적으로 정확한 산산각을 유도함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일阶 섭동 이론에서 나타나는 델타 함수의 제곱이 일관된 수학적 프레임워크 내에서 엄밀하게 정의될 수 있는가?
• RQ2 콜롬베아 일반화된 함수의 사용이 양자역학에서 일반적으로 사용되는 델타 함수 곱의 수학적으로 정당화되지 않은 처리 방식에 대한 수학적으로 타당한 대안을 제공하는가?
• RQ3 결과로 얻어진 일반화된 함수가 루더퍼드 산산각을 재현하기 위해 모리파이어 $\rho$ 가 만족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ4 표준 양자장론에서 사용되는 평면파 상태에 대응하는 물리적으로 의미 있는 콜롬베아 일반화된 함수의 부분집합이 존재하는가?
• RQ5 섭동 이론의 시간 적분의 정규화가 물리적 내용을 잃지 않으면서도 비선형 일반화된 함수 대수에 일관되게 통합될 수 있는가?

주요 결과

• 일阶 섭동 이론에서 에너지 보존을 강제하는 델타 함수는 색스 분포의 특정 부분집합에 속하며, 이러한 대표자들은 잘 정의된 제곱을 가진다.
• 모리파이어 $\rho_{\epsilon}$ 를 콜롬베아 대수에서 사용함으로써 전이 진폭을 엄밀하게 정의할 수 있으며, 이는 진폭의 제곱—즉, 확률—이 수학적으로 일관됨을 보장한다.
• 일반화된 함수 접근법에서 도출된 미분 산산각은 모리파이어 $\rho$ 가 $\int \rho(z) dz = 1$, $\int z^n \rho(z) dz = 0$ for $n=1,\dots,q$, 및 $\rho(0) = \frac{1}{\pi}$ 를 만족할 경우 루더퍼드 공식을 유도한다.
• 모리파이어 $\rho$ 에 대한 조건은 일반화된 함수 $\rho_{\epsilon}$ 가 $\epsilon \to 0$ 의 극한에서 델타 함수처럼 행동하면서도, 제곱 $|\rho_{\epsilon}|^2$ 가 잘 정의됨을 보장한다.
• 부드러운 웨이브 패킷 상태(모리파이어 정규화와 등가)의 사용은 무한 평면파 근사의 수학적 모순을 피하면서도 물리적으로 일관된 대안을 제공한다.
• 이 프레임워크는 기존의 페르미의 금색 규칙이 물리적으로는 올바르지만 분포 이론에서는 수학적으로 정당화되지 않으며, 콜롬베아 일반화된 함수에서 엄밀한 기초를 지닌다는 것을 보여준다.