[논문 리뷰] First vertices for generic Newton polygons, and $p$-cyclic coverings of the projective line

Régis Blache|ArXiv.org|2009. 12. 10.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 특성 $p$에서 프로젝티브 직선의 $p$-순환 피복에 대해 일반적인 뉴턴 다각형의 첫 번째 꼭짓점을 $p$-진 값과 $L$-함수를 이용해 계산하고, 명시적인 하세 다항식을 도출한다. 이는 특정 무한한 종수 가닥에서 초특이 아벨 곡선의 존재하지 않음을 증명하며, 특히 $g = \frac{(p-1)(d_0-1)}{2}$ 이고 $d_0 \in \{p^n-1, 2p^n-2\}$ 이며 $n(p-1) > 2$ 인 경우에 대해 토렐리 다양체와 뉴턴 스트라타의 교차에 관한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper we compute the first vertex of a generic Newton polygon in some special cases, and the corresponding Hasse polynomial. This allows us to show the nonexistence of $p$-cyclic coverings of the projective line in characteristic $p$ with supersingular jacobian for some (infinite families of) genera.

연구 동기 및 목표

• 특성 $p$에서 프로젝티브 직선의 $p$-순환 피복에 대해 일반 뉴턴 다각형의 첫 번째 꼭짓점을 결정하는 것.
• 뉴턴 다각형이 첫 번째 꼭짓점을 달성할 때를 특징짓는 명시적인 하세 다항식을 도출하는 것.
• 특정 무한한 종수 가닥에서 초특이 아벨 곡선의 존재하지 않음을 증명하는 것.
• 기존의 아르틴-슈라이어 곡선에 대한 뉴턴 다각형과 $L$-함수의 결과를 $p \geq 3d$ 영역을 초월해 확장하는 것.

제안 방법

• 유한체의 덧셈적 특성에 관련된 $L$-함수를 사용하여 아르틴-슈라이어 곡선의 제타 함수를 연구하는 것.
• 그로텐디크의 전문화 정리를 적용하여 매개변수 공간의 조밀한 오픈 부분집합에서 일반 뉴턴 다각형(GNP)을 정의하는 것.
• $p$-진 값과 $p$-무게를 포함한 합동식의 최소 해를 통해 GNP의 첫 번째 꼭짓점을 계산하는 것.
• 뉴턴 다각형의 첫 번째 꼭짓점이 결정되는 조건을 나타내는 다항식 $\mathcal{H}_{D,p}^1$을 도입하는 것.
• $p$-진 해석학과 $p$-나누어지는 군 이론을 활용하여 $L$-함수의 뉴턴 다각형과 곡선의 아벨 곡선의 뉴턴 다각형을 연결하는 것.
• $p$-밀도 및 $p$-무게 조건을 적용하여 최소 해를 분류하고, 첫 번째 꼭짓점 존재 조건 (H)를 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 $p$에서 프로젝티브 직선의 $p$-순환 피복이 초특이 아벨 곡선을 가질 수 있는 조건은 어떤 것인가? 특히 $g = \frac{(p-1)(d_0-1)}{2}$ 이고 $d_0 \in \{p^n-1, 2p^n-2\}$ 이며 $n(p-1) > 2$ 인 경우에 대해.
• RQ2 다항식의 차수 $d_0 = p^n - 1$ 또는 $d_0 = 2p^n - 2$ 일 때, 일반 뉴턴 다각형의 첫 번째 꼭짓점은 무엇인가?
• RQ3 뉴턴 다각형의 첫 번째 꼭짓점을 탐지하기 위해 하세 다항식 $\mathcal{H}_{D,p}^1$을 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 $L$-함수의 뉴턴 다각형이 특정 계수의 다항식이 0이거나 0이 아닐 때 정확히 첫 번째 꼭짓점을 달성하는가?
• RQ5 $p$-순환 피복의 뉴턴 다각형의 첫 번째 기울기가 $\frac{1}{n}$을 초과하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 다항식의 차수 $d_0 = p^n - 1$ 일 때, 일반 뉴턴 다각형 $\mathrm{GNP}(D,p)$의 첫 번째 꼭짓점은 $(n,1)$ 이며, 하세 다항식은 $\mathcal{H}_{D,p}^1 = a_{p^n - 1}$ 이다.
• 다항식의 차수 $d_0 = 2p^n - 2$ 일 때, 첫 번째 꼭짓점은 $(2n,2)$ 이며, 하세 다항식은 $\mathcal{H}_{D,p}^1 = a_{p^n - 1} a_{2p^n - 3}^{p^n}$ 이다.
• 특성 $p$에서 $g = \frac{(p-1)(2p^n - 3)}{2}$ 이고 $n(p-1) > 2$ 이며 $(n,p) \neq (1,3)$ 이면, 프로젝티브 직선의 $p$-순환 피복은 초특이 아벨 곡선을 가질 수 없다.
• 특성 $p=2$ 일 때, $d = 2^{n+1} - 3$ 이면, $\alpha_{3 \cdot 2^{n-1} - 1} \neq 0$ 이면 첫 번째 꼭짓점은 $(2n,2)$ 이며, $\alpha_{2^n - 1} \neq 0$ 이면 $(n,1)$ 이다.
• 다항식의 차수 $d_0 < p$ 이면, 첫 번째 꼭짓점은 $(\lceil \frac{p-1}{d_0} \rceil, \frac{1}{p-1} \lceil \frac{p-1}{d_0} \rceil)$ 이며, 하세 다항식은 $f^{\lceil (p-1)/d_0 \rceil}$ 의 차수 $p-1$ 항의 계수이다.
• 특성 $p=3$ 이고 $D = \{1 \leq i \leq 3^{n+1}-2, (3,i)=1\}$ 이면, 첫 번째 꼭짓점은 $(2n+1,1)$ 이며, 하세 다항식은 $\mathcal{H}_{D,3}^1 = a_{d_n} a_{d_0}^{3^n}$ 이다.