[논문 리뷰] Fitted front tracking methods for two-phase incompressible Navier--Stokes flow: Eulerian and ALE finite element discretizations

Marco Agnese, Robert Nürnberg|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 31.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 이동 경계를 갖는 두상 불압축 나비에-스토크스 유동에 대해, 경계에 맞는 메시를 사용하는 매개변수적(piecewise) 선형 유한요소를 이용한 오일러 기반 및 임의 라그랑주-오일러(Arbitrary Lagrangian--Eulerian, ALE) 형식을 제안한다. 주요 기여는, 안정적인 경계 메시 품질과 효율적인 메시 스무딩 덕분에, 각 시간단계 후에 속도를 보간해야 하는 비용이 있음에도 불구하고 오일러 방법이 정확도와 강건성 면에서 ALE 방법과 동등한 성능을 보인다는 것이다.

ABSTRACT

We investigate novel fitted finite element approximations for two-phase Navier--Stokes flow. In particular, we consider both Eulerian and Arbitrary Lagrangian--Eulerian (ALE) finite element formulations. The moving interface is approximated with the help of parametric piecewise linear finite element functions. The bulk mesh is fitted to the interface approximation, so that standard bulk finite element spaces can be used throughout. The meshes describing the discrete interface in general do not deteriorate in time, which means that in numerical simulations a smoothing or a remeshing of the interface mesh is not necessary. We present several numerical experiments, including convergence experiments and benchmark computations, for the introduced numerical methods, which demonstrate the accuracy and robustness of the proposed algorithms. We also compare the accuracy and efficiency of the Eulerian and ALE formulations.

연구 동기 및 목표

• 이동 경계를 갖는 두상 불압축 나비에-스토크스 유동을 위한 적합한 유한요소 방법을 개발하고 비교한다.
• ALE 형식이 표준 오일러 형식에 비해 정확도와 효율성 면에서 유의미한 이점을 제공하는지 조사한다.
• 모의 실험 동안 메쉬 재구성 또는 히우리스틱 조정 없이도 고품질의 경계 및 부피 메시를 유지한다.
• 강한 경계 변형을 포함하는 벤치마크 문제에서 오일러 및 ALE 방법의 성능을 평가한다.
• 경계 메시 품질과 효율적인 메시 스무딩 덕분에 오일러 방법이 보간 비용이 있음에도 불구하고 ALE 방법의 성능을 따라잡을 수 있음을 입증한다.

제안 방법

• 이동 경계를 표현하기 위해 매개변수적(piecewise) 선형 유한요소를 사용하여 기하 정확도를 확보한다.
• 이산 경계에 맞는 적합한 부피 메시를 구성하여, 표준 유한요소 공간을 전체 영역에서 사용할 수 있도록 한다.
• 경계 이동 후에도 부피 요소의 품질을 유지하기 위해 선형 탄성 기반 메시 스무딩 절차를 적용한다.
• 오일러 방법의 경우, 각 시간단계 후에 속도장을 이전 부피 메시에서 새 부피 메시로 보간한다.
• ALE 방법의 경우, 임의 라그랑주 속도를 사용하여 움직이는 도메인 프레임워크에서 나비에-스토크스 방정식을 해결한다. 이는 메시 품질 향상에 기여한다.
• 속도와 압력에 대해 일관된 유한요소 형식을 사용하며, 표면장력은 연속 표면력 방법을 통해 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오일러 기반 적합한 유한요소 방법이 이중상 나비에-스토크스 유동 시뮬레이션에서 ALE 방법과 동등한 정확도와 강건성을 달성하는가?
• RQ2 메쉬 재구성 또는 경계 스무딩 없이도, 오일러 접근법이 속도 보간이 필요함에도 불구하고 수치적 안정성과 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ3 벤치마크 문제에서 오일러 및 ALE 형식의 계산 비용과 수렴 행동은 어떻게 비교되는가?
• RQ4 장기 시뮬레이션에서 경계 메시 품질이 오일러 및 ALE 방법의 성능에 미치는 영향은 어느 정도인가?
• RQ5 제안된 방법이 히우리스틱 개입 없이도 버블 분리와 같은 위상 변화를 정확하게 해석할 수 있는가?

주요 결과

• 오일러 방법 $({\rm \tilde{A}}^{h}_{\rm ex})$ 와 $({\rm \tilde{A}}^{h}_{\rm im})$ 는 모든 수렴성 및 벤치마크 테스트에서 ALE 방법 $({ \rm C}^{h}_{\rm ALE})$ 와 동등한 정확도와 강건성을 확보하였다.
• 각 시간단계 후에 속도 보간이 필요함에도 불구하고 오일러 방법은 정확도에 심각한 열화 없이 안정적으로 작동하였으며, 비凸 영역에서는 소량의 계산 오버헤드만 관찰되었다.
• 강한 변형을 겪는 상승 버블로 인해 총 787~808회의 전체 메쉬 재구성이 필요로 하였지만, 경계 메시 품질은 전체 시뮬레이션 기간 동안 안정적으로 유지되었다.
• 모의 실험에서 버블 꼬리에서 방울의 분리 현상이 발생하지 않았으며, 이는 이전 연구에서 확보된 가장 정밀한 결과와 일치하여 위상 행동의 신뢰성을 시사한다.
• 구형도, 상승 속도, 질량중심, 상대 내부 면적 등의 경계 특성들이 기존 기준과 양호하게 일치하여, 방법의 물리적 정확성을 검증하였다.
• 시간 $t=2.1$ 에서 $t=2.3$ 사이의 상대 내부 면적에서 관찰된 진동은 버블 기저부의 얇은 필라멘트 때문으로 기인되었으며, 이는 방법이 기하적 특징에 민감하게 반응함을 보여준다.