[논문 리뷰] Fitting and goodness-of-fit test of non-truncated and truncated power-law distributions

Álvaro Corral, Anna Deluca|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 20.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 최대우도추정법, 쿠르모고로프-스미르노프 적합도 검정, 몬테카를로 시뮬레이션을 사용하여 경험적 자료에 비정규화 및 정규화된 파워 라이의 분포를 적합시키는 강건하고 체계적인 방법을 제안한다. 이는 이전 방법들보다 유의미하게 유효한 파워 라이 범위를 신뢰성 있게 식별하고 지구물리학적 자료(지진 모멘트, 방사성 뉴클리드의 반감기, 산림 화재 면적 등)에서 파워 라이 행동을 확인함으로써 향상된 성능을 보인다.

ABSTRACT

Power-law distributions contain precious information about a large variety of processes in geoscience and elsewhere. Although there are sound theoretical grounds for these distributions, the empirical evidence in favor of power laws has been traditionally weak. Recently, Clauset et al. have proposed a systematic method to find over which range (if any) a certain distribution behaves as a power law. However, their method has been found to fail, in the sense that true (simulated) power-law tails are not recognized as such in some instances, and then the power-law hypothesis is rejected. Moreover, the method does not work well when extended to power-law distributions with an upper truncation. We explain in detail a similar but alternative procedure, valid for truncated as well as for non-truncated power-law distributions, based in maximum likelihood estimation, the Kolmogorov-Smirnov goodness-of-fit test, and Monte Carlo simulations. An overview of the main concepts as well as a recipe for their practical implementation is provided. The performance of our method is put to test on several empirical data which were previously analyzed with less systematic approaches. The databases presented here include the half-lives of the radionuclides, the seismic moment of earthquakes in the whole world and in Southern California, a proxy for the energy dissipated by tropical cyclones elsewhere, the area burned by forest fires in Italy, and the waiting times calculated over different spatial subdivisions of Southern California. We find the functioning of the method very satisfactory.

연구 동기 및 목표

• 유한한 표본 크기 또는 상한 절단이 있는 경우 진정된 파워 라이 행동을 탐지하는 데에 한계가 있는 이전 방법의 문제점을 해결하기 위해.
• 주관적인 편향 없이 유효한 파워 라이 행동 범위를 자동으로 식별할 수 있는 신뢰할 수 있는 절차를 개발하기 위해.
• 실제 세계 자료에 비정규화 및 정규화된 파워 라이 분포를 일관되게 적합하기 위한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 이전에 보고되거나 의심되었던 파워 라이 행동이 있는 기존 자료에 대해 이 방법의 성능을 테스트하기 위해.
• 지구과학 및 복잡계 연구자들이 통계적으로 엄밀한 방식으로 파워 라이 적합도를 평가할 수 있도록 실용적이고 실행 가능한 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 최대우도추정법(MLE)을 사용하여 경험적 자료에 파워 라이 매개변수(α 및 xmin)를 적합시켜 최적의 매개변수 추정을 보장한다.
• 경험적 자료와 적합된 파워 라이 분포 간의 적합도를 검정하기 위해 쿠르모고로프-스미르노프(KS) 통계량을 적용한다.
• 적합된 모델 하에 시뮬레이션된 가짜 자료를 생성하기 위해 몬테카를로 시뮬레이션을 활용하여 KS 검정에 대한 정확한 p-값 추정을 가능하게 한다.
• 파워 라이 행동의 후보 범위를 체계적으로 평가하여 파워 라이 영역이 시작되는 최적의 xmin(하한)을 식별한다.
• 상한값 b를 포함시켜 정규화된 파워 라이 분포로의 확장을 통해 유한한 모멘트와 물리적 절단을 현실적으로 모델링할 수 있도록 한다.
• 연속형 및 이산형 파워 라이 분포의 정규화 상수에 대한 해석적 표현을 사용하여 적절한 확률밀도 추정을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 경험적 자료가 파워 라이 분포를 따르는 데 필요한 올바른 하한값(xmin)은 무엇인가?
• RQ2 유한한 자료에서 진정된 파워 라이 행동과 다른 꼬리가 두꺼운 분포를 신뢰성 있게 구분하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 상한 절단(b)을 포함시키는 것이 실제 지구물리학적 자료에서 파워 라이 모델의 적합도와 통계적 타당성에 유의미한 향상을 가져오는가?
• RQ4 지진 모멘트나 토네이도 에너지와 같이 이전에 덜 체계적인 접근 방식으로 분석된 자료에 대해 이 방법은 어떻게 성능을 보이는가?
• RQ5 한 개의 자료 내에서 여러 개의 파워 라이 영역을 감지할 수 있는가(예: 분포의 몸통과 꼬리에서 서로 다른 행동을 보이는 경우)?

주요 결과

• 이 방법은 방사성 뉴클리드의 반감기에서 넓은 범위의 파워 라이 尾을 성공적으로 식별하였으며, 파워 라이 계수 α = 1.09로 확인되었고, 이는 이전 보고와 일치한다.
• 글로벌 및 샌드리에고 지역 지진 모멘트 자료에 대해 이 방법은 1.0에서 1.1 사이의 α를 가지며 구글트버그-리히터 법칙을 확인하였고, 이 법칙이 성립하는 최소 지진 모멘트를 신뢰성 있게 결정하였다.
• 태풍의 에너지 소산(PDI)은 계수 약 1에 가까운 파워 라이 몸통을 보였으며, 남부 인도양 지역에선 더 높은 계수를 발견하였다.
• 이탈리아의 산림 화재 면적은 분포의 작은 국소적 창문에서만 파워 라이 행동을 보였으며, 이는 취약하거나 국소적인 파워 라이 영역임을 시사한다.
• 캘리포니아 남부 지역의 지진 간 간격은 민감하게 영향을 받는 파워 라이 꼬리가 존재했으며, 이는 유한한 기록 기간과 공간 분할 크기의 영향을 크게 받는다.
• 이 방법은 간격 분포의 몸통에서 두 번째 파워 라이 영역를 감지하였으며, 하한 및 상한 임계값에서의 교차점으로 둘러싸여 있어 복잡한 시간적 동역학을 반영한다.