[논문 리뷰] Five Constructions of Permutation Polynomials over $\gf(q^2)$

Cunsheng Ding, Pingzhi Yuan|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 01.

Coding theory and cryptography참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ℓ{GF}(q^2)$에서의 알려진 $ℓ{GF}(q)$ 상의 순열 다항식을 기반으로 하여 다섯 가지 일반적인 순열 다항식 구성법을 제시한다. 이 중 네 가지는 $ℓ{GF}(q^{2^\ell})$에서 모든 $ℓ{\ell} \geq 1$에 대해 무한한 가족을 생성하는 재귀적 방법이며, 나머지 하나는 $ℓ{GF}(2^{2m})$에서 o-다항식을 사용한 비재귀적 구성법이다. 주요 기여는 특성 2에서 o-다항식과 순열 다항식 간의 새로운 연결 고리를 통해 무한히 많은 새로운 순열 다항식을 체계적으로 생성하는 데 있다.

ABSTRACT

Four recursive constructions of permutation polynomials over $\gf(q^2)$ with those over $\gf(q)$ are developed and applied to a few famous classes of permutation polynomials. They produce infinitely many new permutation polynomials over $\gf(q^{2^\ell})$ for any positive integer $\ell$ with any given permutation polynomial over $\gf(q)$. A generic construction of permutation polynomials over $\gf(2^{2m})$ with o-polynomials over $\gf(2^m)$ is also presented, and a number of new classes of permutation polynomials over $\gf(2^{2m})$ are obtained.

연구 동기 및 목표

• 기존 $ℓ{GF}(q)$ 상의 순열 다항식을 기반으로 하여 $ℓ{GF}(q^2)$ 상의 순열 다항식을 재귀적 및 비재귀적으로 구성하는 것.
• $ℓ{GF}(2^m)$ 상의 o-다항식과 $ℓ{GF}(2^{2m})$ 상의 순열 다항식 간의 일반적인 연결 방법을 수립하는 것.
• 단 하나의 기본 순열 다항식 $ℓ{GF}(q)$ 상에서 출발하여 모든 $ℓ{\ell} \geq 1$에 대해 $ℓ{GF}(q^{2^\ell})$ 상에서 무한히 많은 새로운 순열 다항식을 생성하는 것.
• 기존의 o-다항식 가족을 확장하고, 새로운 유형의 순열 다항식을 구성할 수 있는 조건을 제공하는 것.
• 기저 표현과 체의 자기동형사상의 활용을 통해 순열 행동을 위한 충분하고 필수 조건을 증명함으로써 순열 다항식 구성의 열린 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 비특이 행렬 변환을 통해 기저에 대한 표현을 사용할 때, $ℓ{GF}(q^m)$ 상의 다항식 $F(z)$가 순열 다항식이 되기 위한 필요충분조건을 제시하는 정리 1을 활용한다. 이 조건은 구성 함수 $f_i(x)$가 $ℓ{GF}(q)$ 상에서 순열 다항식이어야 한다는 것이다.
• $ℓ{GF}(q^2)$의 원소를 $ℓ{GF}(q)$ 상의 $x, y$를 사용한 선형 조합 $z = x + y\beta$ 형태로 표현하며, $ℓ{GF}(q)$ 상의 기저 $\{1, \beta\}$를 사용한다.
• 순열 다항식을 $ℓ{GF}(q)$ 에서 $ℓ{GF}(q^2)$로 올리는 재귀적 구성법을 적용하고, 이를 반복적으로 $ℓ{GF}(q^{2^\ell})$로 확장한다. 이 과정에서 행렬 변환과 구성 요소별 순열 행동을 활용한다.
• 특성 2인 $ℓ{GF}(2^{2m})$ 상에서 비재귀적 구성법을 도입한다. 이는 $x, x^q, x^{q^2}$의 선형 조합과 $u\alpha^2$를 거듭제곱한 항을 조합하여, $q \equiv 1 \pmod{3}$일 때 $ℓ{GF}(q)$ 상의 세 제곱근 단위근 $\omega$의 성질을 활용한다.
• Frobenius 자기동형사상에 대한 변환을 거친 $x + x^q + x^{q^2}$와 유사한 표현식을 활용하여 구성된 다항식의 순열 행동을 분석한다.
• 다항식 $F(x)$가 $ℓ{GF}(q^3)$ 상에서 순열 다항식이 되기 위한 조건으로, 구성 요소의 스칼라 계수들이 모두 0이 아니며, $ℓ{GF}(q)$ 상에서의 축소된 단변수 다항식이 순열 다항식이어야 한다는 조건을 적용한다. 이때 $ℓ{\alpha^q = \omega\alpha}$ 및 $ℓ{\alpha^{q^2} = \omega^2\alpha}$의 구조를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ℓ{GF}(q^2)$ 상의 순열 다항식을 기존 $ℓ{GF}(q)$ 상의 순열 다항식을 기반으로 재귀적 방법을 통해 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 $ℓ{GF}(q^3)$ 상에서 다항식 $F(x) = ax + bx^q + cx^{q^2} + (x + \omega x^q + \omega^2 x^{q^2} + u\alpha^2)^t$가 순열 다항식이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 $ℓ{GF}(2^m)$ 상의 o-다항식을 어떻게 활용하여 $ℓ{GF}(2^{2m})$ 상의 새로운 순열 다항식을 생성할 수 있는가?
• RQ4 계수 $a, b, c, u$와 지수 $t$가 어떤 조건을 만족할 경우, $t \equiv 1 \pmod{3}$일 때 구성된 다항식 $F_1(x)$가 $ℓ{GF}(q^3)$ 상에서 순열 다항식이 되는가?
• RQ5 제안된 구성법이 모든 $ℓ{\ell} \geq 1$에 대해 $ℓ{GF}(q^{2^\ell})$ 상에서 무한히 많은 새로운 순열 다항식을 생성할 수 있는가?
• RQ6 key_findings

주요 결과

• 네 가지 재귀적 구성법을 통해 $ℓ{GF}(q)$ 상의 단 하나의 순열 다항식에서 출발하여 모든 $ℓ{\ell} \geq 1$에 대해 $ℓ{GF}(q^{2^\ell})$ 상에서 무한히 많은 순열 다항식을 생성할 수 있다.
• 특성 2인 $ℓ{GF}(2^{2m})$ 상에서 o-다항식을 사용한 비재귀적 구성법은 새로운 유형의 순열 다항식을 도출하며, 특성 2에서 알려진 가족을 확장한다.
• $ℓ{GF}(q^3)$ 상에서 $F(x) = ax + bx^q + cx^{q^2} + (x + x^q + x^{q^2} + u)^t$일 때, $F(x)$가 순열 다항식이 되기 위한 필요충분조건은 $(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega) \neq 0$ 이고, $(a+b+c)x + 3x^t$ 가 $ℓ{GF}(q)$ 상에서 순열 다항식이어야 한다.
• $t \not\equiv 1 \pmod{3}$일 때, 다항식 $F_1(x) = ax + bx^q + cx^{q^2} + (x + \omega x^q + \omega^2 x^{q^2} + u\alpha^2)^t$가 $ℓ{GF}(q^3)$ 상에서 순열 다항식이 되기 위한 필요충분조건은 $(a+b+c)(a+b\omega+c\omega^2)(a+b\omega^2+c\omega) \neq 0$ 이다.
• $t \equiv 1 \pmod{3}$일 때, $F_1(x)$가 $ℓ{GF}(q^3)$ 상에서 순열 다항식이 되기 위한 필요충분조건은 $(a+b+c)(a+b\omega^2+c\omega) \neq 0$ 이고, $(a+b\omega^2+c\omega)x + \alpha^{2(t-1)}3x^t$ 가 $ℓ{GF}(q)$ 상에서 순열 다항식이어야 한다.
• 이 구성법은 임의의 소수 거듭제곱 $q$에 대해 유효하며, 특히 $q \equiv 1 \pmod{3}$일 경우 세 제곱근 단위근 $\omega$를 분석에 활용할 수 있어 효과적이다.