[논문 리뷰] Fixed point properties for semigroups of nonlinear mappings and amenability

Anthony Lau, Yong Zhang|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 19.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 22인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간의 유계폐쇄볼록부분집합과 국소볼록공간의 컴팩트볼록부분집합 위에서 비선형사상의 준위상군에 대한 고정점 성질을 수립하며, L-통합집합을 도입하고, AP(S) 또는 WAP(S)에 대한 불변 평균을 갖는 왼쪽 가역 준위상군이 공통 고정점을 보장함을 증명한다. 주요 기여는 거의주기적 함수공간에 대한 왼쪽 불변 평균의 존재를 통해 고정점 성질을 특성화한 것으로, 기존 결과를 분리성 가정 없이 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we study fixed point properties for semitopological semigroup of nonexpansive mappings on a bounded closed convex subset of a Banach space. We also study a Schauder fixed point property for a semitopological semigroup of continuous mappings on a compact convex subset of a separated locally convex space. Such semigroups properly include the class of extremely left amenable semitopological semigroups, the free commutative semigroup on one generator and the bicyclic semigroup $S_1 = < a, b: ab = 1 >$.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간과 국소볼록공간의 유계 또는 컴팩트 볼록부분집합 위에서 비압축성 및 연속사상의 준위상군에 대한 고정점 성질을 조사한다.
• 특히 약한 연속성 또는 개별적으로 연속적인 표현에 대해, 군의 분리성 가정을 제거함으로써 기존의 고정점 정리를 확장한다.
• 공통 고정점의 존재를 거의주기적 및 약주기적 함수공간 위의 왼쪽 불변 평균(LIMs)의 존재에 따라 특성화한다.
• 비가환성 및 비가역성 군에서 애매성(불변 평균을 통한)과 고정점 성질 간의 관계를 명확히 한다.
• 위상군과 군에서 슈바르츠 고정점 성질이 특정 애매성 성질을 특성화하는지에 대한 열린 질문을 다룬다.

제안 방법

• 바나흐 공간에서의 L-통합볼록집합의 개념을 도입하여, 고정점 분석을 위한 정상구조와 약콤팩트성의 일반화를 이루다.
• 준위상군의 볼록부분집합 위에서의 표현이론을 사용하며, 노름, 약, 약* 위상에서의 비압축성 및 약선형 사상에 중점을 둔다.
• AP(S)와 WAP(S) 위의 왼쪽 불변 평균(LIMs)과 고정점 성질 간의 대응관계를 궤적 폐쇄 논증과 약* 콤팩트성에 기반해 수립한다.
• 오른쪽 궤적의 점별폐쇄(co̅p{rₛf : s ∈ S}) 개념을 적용하여, 상수함수 포함성에 기반해 LIMs 존재성을 특성화한다.
• 준위상군 S가 고정점 성질(F*s)을 갖는다면, AP(S)와 가산성 조건 하에서 WAP(S)가 LIMs를 갖는다는 것을 증명하며, 고정점 행동과 애매성 간의 연결 고리를 형성한다.
• 이중성과 확장 기법을 사용해 S에서 S^e(단위화)로 평균을 옮기며, S^e 위의 LIMs가 S 위의 LIMs에 대응함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 왼쪽 가역 준위상군 S가 바나흐 공간의 L-통합유계폐쇄볼록부분집합 C 위에서 비압축적으로 작용할 경우, C 내에 공통 고정점이 존재하는가?
• RQ2 분리성 가정 없이도, 고정점 성질(F*s)이 AP(S) 또는 WAP(S) 위의 왼쪽 불변 평균 존재성에 의해 특성화될 수 있는가?
• RQ3 고정점 성질(F*s)이 왼쪽 가역성과 동치인가, 아니면 S₂ = ⟨e,a,b,c: ab=ac=e⟩와 같은 비왼쪽가역 군도 여전히 (F*s)를 만족할 수 있는가?
• RQ4 WAP(S) 위에 왼쪽 불변 평균이 존재하면, 약하게 개별연속, 약하게 준등연속, Q-비압축성 표현이 약콤파크 볼록집합 위에서 슈바르츠 고정점 성질을 만족하는가?
• RQ5 위상군 또는 군에서 어떤 애매성 성질이 슈바르츠 고정점 성질에 의해 완전히 특성화되는가?

주요 결과

• 준위상군 S가 왼쪽 가역이고 바나흐 공간의 L-통합유계폐쇄볼록부분집합 C 위에서 비압축적으로 작용할 경우, S는 C 내에 공통 고정점을 갖는다.
• AP(S) 위의 왼쪽 불변 평균(LIM) 존재는, 분리성 가정 없이도 준위상군에 대한 고정점 성질(F*s)과 동치이다.
• 가산 왼쪽 이상을 갖는 군의 경우, WAP(S) 위의 LIM 존재는 약하게 개별연속, Q-비압축성 표현이 약콤팩트 볼록집합 위에서 고정점 성질(F*s)을 갖는다.
• 논문은 고정점 성질(F*s)이 AP(S) 위의 LIM 존재를 암시하며, 가산 왼쪽 이상 조건 하에서는 WAP(S) 위의 LIM 존재를 암시함을 증명함으로써 고정점 행동과 애매성 간의 연결 고리를 형성한다.
• 저자들은 S와 그 단위화 S^e 사이의 이중성 관계를 수립하며, AP(S^e) 또는 WAP(S^e) 위의 LIMs가 각각 AP(S) 또는 WAP(S) 위의 LIMs에 대응함을 보여준다.
• 결과는 이전 정리들, 특히 [32, 정리 3.8]을 일반화하고 분리성 가정을 제거하며, 고정점 성질(F*s)이 왼쪽 가역성보다 엄밀히 약한 성질임을 시사한다.